设函数f（x）的定义域为R,且对于任意实数a,b,都有f（a＋b）＋f（ab）＝2f（a）f（b）

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/29 10:22:37

设函数f（x）的定义域为R,且对于任意实数a,b,都有f（a＋b）＋f（ab）＝2f（a）f（b）
求证f（x）为偶函数

设函数f（x）的定义域为R,且对于任意实数a,b,都有f（a+b）+f（a-b）＝2f（a）f（b）,求证f（x）为偶函数?
先根据f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）得到f（-x）=f（x）,从而很容易得到函数f（x）的奇偶性．
（1）令a=b=0,得2f（0）=2f²（0）．
∵f（0）≠0,∴f（0）=1．
又令a=0,b=x,则f（x）+f（-x）=2f（0）f（x）,
∴f（-x）=f（x）,即f（x）为偶函数．
再问： ∵f（0）≠0，怎么知道的？
再答：先令a=x，b=0，得 2f(x)=2f(x)f(0),故f(0)=1；再令a=0,b=x，得 f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)，即f(x)+f(-x)=2f(x), 故f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.
再问： 2f(x)=2f(x)f(0),故f(0)=1；如果f（x）＝0，则f（0）可以为任意数，此题是否缺少条件呢？
再答：如果f（x）＝0恒成立，难道不是偶函数么？额，把这种情况补上。。。

设函数f（x）的定义域为R,且对于任意实数a,b,都有f（a＋b）＋f（ab）＝2f（a）f（b）,求证：f（x）为偶设函数f（x）的定义域为R,且对于任意实数a,b,都有f（a＋b）＋f（ab）＝2f（a）f（b）设f(x）的定义域在实数集R上的函数,满足f(0)=1,且对任意实数ab都有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1), 设f（x）是定义在实数R上的函数.满足f（0）=1且对任意实数ab都有f（a）-f(a-b)=b(2a-b+1),则f（函数f（x）x∈r,若对于任意实数a,b都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）求证f（x）为奇函数设f（x）是定义域N*上的函数,f（1）=1,对于任意自然数a,b都有f（a）+f（b）=f（a+b）-ab,求f（x）设函数f(x）的定义域为R,满足以下三个条件：①对于任意a、b∈R,都有①f(a+b)=f(a)+f(b)；高一数学请求帮助!1.已知函数f(x)的定义域为R,对于任意a,b∈R都有f(a+b）=f（a）+f(b),且当x＞0 已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x）已知函数f（x）的定义域为R，对于任意实数a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0，f 如果函数f（x）的定义域为R,对任意实数a b满足f（a+b）=f（a）*f（b）,设f（1）=k 求f（10）已知函数f(x)的定义域为(0,+∞）,对于任意正数a,b都有f(ab)=f(a)+f(b)-p其中p为常数,且p>0,