大师作文网求解13+33+53+…+993=?
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 18:47:05
求解13+33+53+…+993=?
1的3次方+3的3次方+5的三次方,一直加到99的三次方,是多少?
1的3次方+3的3次方+5的三次方,一直加到99的三次方,是多少?
1^3+3^3+5^3+...+(2n+1)^3=(n+1)^2(2n^2+4n+1)
这个公式可以利用数学归纳法证明：
n=0时,1^3=(0+1)^2*(0+0+1),成立
设n=k时成立,即1^3+3^3+5^3+...+(2k+1)^3=(k+1)^2(2k^2+4k+1)
则n=k+1时
1^3+3^3+5^3+...+(2k+1)^3+(2k+3)^3
=(k+1)^2(2k^2+4k+1)+(2k+3)^3
=(k+1)^2(2k^2+4k+1)+(2k+3)(4k^2+12k+9)
=(k+1)^2(2k^2+4k+1)+(2k+3)(2k^2+4k+1)+(2k+3)(2k^2+8k+8)
=[(k^2+2k+1)+(2k+3)](2k^2+4k+1)+(2k+3)*2(k^2+4k+4)
=(k+2)^2(2k^2+4k+1)+(4k+6)(k+2)^2
=(k+2)^2(2k^2+8k+7)
=[(k+1)+1][2(k+1)^2+4(k+1)+1]
等式也成立
所以,原式成立
n=49时
1^3+3^3+5^3+...+99^3=(49+1)^2*(2*49^2+4*49+1)=50^2*4999=12497500
这个公式可以利用数学归纳法证明：
n=0时,1^3=(0+1)^2*(0+0+1),成立
设n=k时成立,即1^3+3^3+5^3+...+(2k+1)^3=(k+1)^2(2k^2+4k+1)
则n=k+1时
1^3+3^3+5^3+...+(2k+1)^3+(2k+3)^3
=(k+1)^2(2k^2+4k+1)+(2k+3)^3
=(k+1)^2(2k^2+4k+1)+(2k+3)(4k^2+12k+9)
=(k+1)^2(2k^2+4k+1)+(2k+3)(2k^2+4k+1)+(2k+3)(2k^2+8k+8)
=[(k^2+2k+1)+(2k+3)](2k^2+4k+1)+(2k+3)*2(k^2+4k+4)
=(k+2)^2(2k^2+4k+1)+(4k+6)(k+2)^2
=(k+2)^2(2k^2+8k+7)
=[(k+1)+1][2(k+1)^2+4(k+1)+1]
等式也成立
所以,原式成立
n=49时
1^3+3^3+5^3+...+99^3=(49+1)^2*(2*49^2+4*49+1)=50^2*4999=12497500