已知矩阵A=(),满足 A平方-3A-10E=O,试证A和A-4E都可逆-搜答案-大师作文网

n阶矩阵A满足A平方=A===>r(A)≤n当r(A)=n时,===>A=E===>r(A-E)=0===>r(A)+r(A-E)=n当r(A)A为至少有一行是全0的单位矩阵===>r(A)+r(A-

因为（E+A+A^2)(E-A)=E+A+A^2-A-A^2-A^3=E所以E+A+A^2可逆,且E+A+A^2的逆为E-A

设AX=λX,则λ是A的特征值(A^2)X=A(AX)=A(λX)=λ(AX)=λ^2X而A^2=E所以EX=λ^2X即λ^2是单位矩阵E的特征值,而单位矩阵的特征值全为1所以λ^2=1所以λ=正负1

A=A^24A^2-4A+E=E(E-2A)(E-2A)=E所以E-2A可逆且（E-2A）的负一次方等于E-2A

碰到这种问题不要偷懒,直接用待定系数法把B的9个元素设出来,然后乘开来比较等上面的做法做过一遍之后再做取巧一点的办法:(A-E)B=B(A-E),同样乘开来比较上面两个都做过之后可以设法去证明与Jor

移项：A^2=A+2E两边同乘以A^(-2)就得到：E=（A+2E)^A*(-2)

设A,B分别是m*n和n*m矩阵,则AB是m级方阵,BA是n级方阵.所以m=n.

因为2A(A-E)=A^3所以A^3-2A^2+2A=0所以A^2(A-E)-A(A-E)+A-E=-E即(A^2-A+E)(E-A)=E所以E-A可逆,且(E-A)^-1=A^2-A+E.

由于(A+2E)(A-2E)=A^2-4E=-3E,所以(A+2E)(-A/3+2E/3)=E,因此A+2E可逆.

(E+3A)(E-3A)=E-9A^2=E

由A平方=A得A(A–E)=0所以A–E的列向量都是AX=0的解,所以r(A–E)

A²-3A-2E=0=>A(A-3E)=2E=>A[(A-3E)/2]=E所以A是可逆矩阵,且其逆矩阵为(A-3E)/2

移项使等号右边等于0提取公因式会有AX（A-1）=0出现的当然先要两边加绝对值吧

A+2X=AX所以(A-2E)X=A所以X=A(A-2E)^-1=diag(4,3,-2)diag(2,1,-4)^-1=diag(4,3,-2)diag(1/2,1,-1/4)=diag(2,3,1

设b是特征值,则A*X=bX,由A^2=A得A*X=A^2*X=bA*X=b^2X故bX=b^2Xb=b^2解得b=0,b=1.a的特征值0或1.

A^2=2A说明A的特征值只可能是0或者2,所以A-I的特征值就是1或-1再利用实对称阵正交相似于对角阵得到A-I是正交阵另一种做法是直接算出(A-I)(A-I)^T=I,但上面的方法也应该掌握

由A+B=AB,得(A-E)(B-E)=E所以A-E=(B-E)^-1=0-30200001的逆矩阵=01/20-1/300001所以A=11/20-1/310002

因为A^2-2A-3E=0所以A(A-E)-(A-E)-4E=0所以(A-E)^2=4E所以A-E可逆,且(A-E)^-1=(1/4)(A-E).

（1）A^2+B^2+C^2=A(BC)A+B(CA)B+C(AB)C=(AB)(CA)+(BC)(AB)+(CA)(BC)=E^2+E^2+E^2=3E.（2）线性相关,则行列式为0,展开可得0+3

AX=A+X(A-E)X=A|021||332|=0+4+6-3-0-6=1≠0|121|∴X=(A-E)^(-1)A[021121][332342]→[121122]----------------