已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0) B(2.0) C(1,2/3)三点.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/23 15:29:08
已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0) B(2.0) C(1,2/3)三点.
椭圆E的方程为 (x^2/4)+(y^2/3)=1,若直线L;y=k(x-1) (k不等于0)与椭圆E交与M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上
椭圆E的方程为 (x^2/4)+(y^2/3)=1,若直线L;y=k(x-1) (k不等于0)与椭圆E交与M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上
设M(x1,y1)N(x2,y2)
联立y=k(x-1)与x²/4+y²/3=1得:
3x²+4k²(x-1)²-12=0
整理得:
(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12=0
由韦达定理:
x1+x2=4k²/(4k²+3)
x1*x2=(4k²-12)/(4k²+3)
由两点式写出AM,BN的方程
AM:y/(x+2)=y1/(x1+2)
BN:y/(x-2)=y2/(x2-2)
联立解出交点横坐标:
(x-2)/(x+2)=[(x2-2)y1]/[(x1+2)y2]①
因M,N在l上
故:y1=k(x1-1)y2=k(x2-1)
带入①式
[(x2-2)y1]/[(x1+2)y2]
=[(x2-2)k(x1-1)]/[(x1+2)k(x2-1)]
=[(x2-2)(x1-1)]/[(x1+2)(x2-1)]
=[x1x2-2x1-x2+2]/[x1x2-x1+2x2-2]
=[x1x2-(x1+x2)-x1+2]/[x1x2+2(x1+x2)-3x1-2]
=1/3
即(x-2)/(x+2)=1/3
解之x=4
故直线AM与BN的交点在直线x=4上
回答:2010-09-04 21:28
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联立y=k(x-1)与x²/4+y²/3=1得:
3x²+4k²(x-1)²-12=0
整理得:
(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12=0
由韦达定理:
x1+x2=4k²/(4k²+3)
x1*x2=(4k²-12)/(4k²+3)
由两点式写出AM,BN的方程
AM:y/(x+2)=y1/(x1+2)
BN:y/(x-2)=y2/(x2-2)
联立解出交点横坐标:
(x-2)/(x+2)=[(x2-2)y1]/[(x1+2)y2]①
因M,N在l上
故:y1=k(x1-1)y2=k(x2-1)
带入①式
[(x2-2)y1]/[(x1+2)y2]
=[(x2-2)k(x1-1)]/[(x1+2)k(x2-1)]
=[(x2-2)(x1-1)]/[(x1+2)(x2-1)]
=[x1x2-2x1-x2+2]/[x1x2-x1+2x2-2]
=[x1x2-(x1+x2)-x1+2]/[x1x2+2(x1+x2)-3x1-2]
=1/3
即(x-2)/(x+2)=1/3
解之x=4
故直线AM与BN的交点在直线x=4上
回答:2010-09-04 21:28
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