n个n维向量线性无关的证明

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/20 11:40:49

n个n维向量线性无关的证明
题目是这样的:
设a1,a2,...,an是n个n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任意一个n维向量都可以被它们线性表示.
必要性很好证,我已经证出来了
下面是我关于充分性的证明:
令b为任意一个n维向量,那么存在不全为0的数k1,k2,...,kn使得k1*a1+k2*a2+...+kn*an=b (1)
假设a1,a2,...,an线性相关,那么存在不全为0的数p1,p2,...,pn使得p1*a1+p2*a2+...+pn*an=0 (2)
用(1)-(2)得到
(k1-p1)*a1+(k2-p2)*a2+.+(kn-pn)*an=b (3)
因此只有当p1,p2,.,pn全为0时,等式(3)成立,这与假设相矛盾,即证得充分性
我不知道我这样的证明合理不~有没有更好的更简单的证明,我总觉得我这个证明看起来挺不舒服的

这个证明不对,除非你能够证明出（1）是b的唯一表示法,否则这样是不行的.
充分性：
取n个线性无关的n维向量b1,b2,..,bn,由必要性知任一n维向量均可由b1,b2,...,bn线性表示,也就是说a1,a2,...,an可由b1,b2,...,bn线性表示.再由已知条件：b1,b2,...,bn也可由a1,a2,...,an线性表示,因此两向量组等价,因此它们的秩相同,由于b1,b2,...,bn线性无关,秩为n,因此：a1,a2,...,an的秩也为n,因此a1,a2,...,an线性无关.
再问：本来想叫你等等再给出答案的. 刚想到个,跟你的证明几乎一样,但是我的是举出一个特例: 取n个单位向量(n种不同的排列),根据条件它们可以被a1,a2,...,an表示,同时a1,a2,..,an可以被这些单位向量表示,因此等价,即秩相同,所以a1,a2,...,an线性无关举出一个特例不影响结论吧?
再答：这样做是正确的。我当初学的时候就是象你这样证的。

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