幂的意义?如果说乘方是一种乘法运算,那幂和次方都是一种什么?

幂的意义?
如果说乘方是一种乘法运算,那幂和次方都是一种什么?

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幂的运算
一、教学内容：
1.同底数幂的乘法
2.幂的乘方与积的乘方
3.同底数幂的除法
二、技能要求：
掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法）,能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质,并能运用它们熟练地进行运算.
三、主要数学能力
1．通过幂的运算到多项式乘法的学习,初步理解“特殊——一般——特殊”的认识规律,发展思维能力.
2．在学习幂的运算性质、乘法法则的过程中,培养观察、综合、类比、归纳、抽象、概括等思维能力.
四、学习指导
1．同底数幂的乘法：am·an=am+n (m, n是自然数)
同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则,也是整式乘法的主要依据之一.学习这个法则时应注意以下几个问题：
（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义.
（2）它的前提是“同底”,而且底可以是一个具体的数或字母,也可以是一个单项式或多项式,如：
(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5,底数就是一个二项式(2x+y).
（3）指数都是正整数
（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘,即am·an·ap.=am+n+p+... (m, n, p都是自然数).
（5）不要与整式加法相混淆.乘法是只要求底数相同则可用法则计算,即底数不变指数相加,如：
x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同,实际上是幂相同系数相加,
如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5,而x5+x4就不能合并.
例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5
(1) (- )(- )2(- )3 分析：①(- )就是(- )1,指数为1
=(- )1+2+3 ②底数为- ,不变.
=(- )6 ③指数相加1+2+3=6
= ④乘方时先定符号“+”,再计算 的6次幂
(2) -a4·(-a)3·(-a)5 分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂
=-(-a)4·(-a)3·(-a)5 可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂
=-(-a)4+3+5 ②本题也可作如下处理：
=-(-a)12 -a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)
=-a12 =-(a4·a3·a5)=-a12
例2．计算(1) (x-y)3(y-x)(y-x)6
(x-y)3(y-x)(y-x)6 分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂
=-(x-y)3(x-y)(x-y)6 可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6
=-(x-y)3+1+6 变为(x-y)为底的同底数幂,再进行
=-(x-y)10 计算.
例3．计算：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4
x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4 分析：①先做乘法再做减法
=x5+n-3+4-3x2+n+4 ②运算结果指数能合并的要合并
=x6+n-3x6+n ③3x2即为3·(x2)
=(1-3)x6+n ④x6+n,与-3x6+n是同类项,
=-2x6+n 合并时将系数进行运算(1-3)=-2
底数和指数不变.
2．幂的乘方(am)n=amn,与积的乘方(ab)n=anbn
(1)幂的乘方,(am)n=amn,(m, n都为正整数)运用法则时注意以下以几点：
①幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式.如[(x+y)2]3的底数为(x+y),是一个多项式,
[(x+y)2]3=(x+y)6
②要和同底数幂的乘法法则相区别,不要出现下面的错误.如：
(a3)4=a7； [(-a)3]4=(-a)7； a3·a4=a12
(2)积的乘方(ab)n=anbn,（n为正整数）运用法则时注意以下几点：
①注意与前二个法则的区别：积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干个幂的乘方）,再把所得的幂相乘.
②积的乘方可推广到3个以上因式的积的乘方,如：(-3a2b)3
如(a1·a2·……an)m=a1m·a2m·……anm
例4．计算：①(a2m)n ②(am+n)m ③(-x2yz3)3 ④-(ab)8
①(a2m)n 分析：①先确定是幂的乘方运算
=a(2m)n ②用法则底数a 不变指数2m和n相乘
=a2mn
②(am+n)m 分析：①底数a不变,指数(m+n)与m相乘
=a(m+n)m
= ②运用乘法分配律进行指数运算.
③(-x2yz3)3 分析：①底数有四个因式：(-1), x2, y, z3
=(-1)3(x2)3y3(z3)3 分别3次方
=-x6y3z9 ②注意(-1)3=-1, (x2)3=x2×3=x6
④-(ab)8 分析：①8次幂的底数是ab.
=-(a8b8) ②“-”在括号的外边先计算(ab)8
=-a8b8 再在结果前面加上“-”号.
例5．当ab= ,m=5, n=3, 求(ambm)n的值.
∵ (ambm)n 分析：①对(ab)n=anbn会从右向左进行逆
=[(ab)m]n 运算 ambm=(ab)m
=(ab)mn ②将原式的底数转化为ab,才可将ab
∴ 当m=5, n=3时, 代换成 .
∴ 原式=( )5×3 ( )15应将 括起来不能写成 15.
=( )15
例6．若a3b2=15,求-5a6b4的值.
-5a6b4 分析：a6b4=(a3b2)2
=-5(a3b2)2 应用(ab)n anbn
=-5(15)2
=-1125
例7．如果3m+2n=6,求8m·4n的值.
8m·4n 分析：①8m=(23)m=23m
=(23)m·(22)n 4n=(22)n=22n
=23m·22n ②式子中出现3m+2n可用6
=23m+2n 来代换
=26=64
3. 同底数幂的除法：
（1）同底数幂的除法：am÷an=am-n (a≠0, m, n均为正整数,并且m>n)
①同底数幂的除法是整式除法的基础,要熟练掌握.同底数幂的除法法则是根据除法是乘法的逆运算归纳总结出来的,和前面讲的幂的运算的三个法则相比,在这里底数a是不能为零的,否则除数为零,除法就没有意义了.又因为在这里没有引入负指数和零指数,所以又规定m>n.能从特殊到一般地归纳出同底数幂的除法法则.
②同底数幂的两个幂相除,如果被除式的指数与除式的指数相等,那么商等于1,即am÷am=1,m是任意自然数.a≠0, 即转化成a0=1(a≠0).
③同底数幂的两个幂相除,如果被除式的指数小于除式的指数,即m-n