非线性数学现在发展中主要存在哪些难题?发展到现在进展如何?

非线性数学现在发展中主要存在哪些难题?发展到现在进展如何?

非线性数学的主体：孤立波(soliton),分形 (fractal),混沌(chaos).
孤立波,以及相应的孤立子的研究,是这三者中发展较早的一个.当然它的发现可以追溯到 19世纪,即使是对它的理论和实验研究,在20世纪50-60年代也已较多.到今天,除了沿它自身体系发展外,由于它在数学处理上已取得不少经验,我们指望从而得到了解其他非线性现象中图型形成的机理.比如,有空间传播性能的波形不变的非线性现象,可以认为是系统中由于自组织而“降维”,在数学上和非线性振动中的所谓同宿解有关.对其他非线性现象的理解可能从孤立波已有成果得到借鉴.
分形和不规则形状的几何有关.人们早就熟悉从规则的实物抽象出诸如圆、直线、平面等几何概念,芒德波罗(B.B.Mandelbrot)则对曲曲弯弯的海岸线、棉絮团似的云烟找到合适的几何学描述方法——分形.早期概念中的分形要求整体和它的各个局部都相似,即具有“自相似性”(self-similarity).正如天下没有绝对圆的东西、几何学里的圆存在于数学家脑袋中一样,完全自相似的分形也只是一种数学抽象.当今概念中的分形(多重分形 (multifractals))对自相似性作了适当的修正和推广,使分形更能接近现实的事物.这套几何工具在处理许多非线性现象时是很有效的.分形理论开始是在各种物理或真实例子里寻找应用,后来人们则进一步研究那些具有分形几何特征的事物具有什么样的物理规律,研究分形形状的事物是如何随时间演化的.分形理论出现较晚,它的数学准备不象孤立波那样充分,目前它的数学理论和实际应用之间距离还较大,有些数学概念还得从头重新建立.比如,微积分里导数是和光滑曲线的斜率相联系的,对于曲曲弯弯海岸线那样的曲线,导数又怎样定义?如果象微分积分那样的操作都没有,那就很难做进一步的定量的研究.分形数学和分形物理的结合还刚开始.
混沌指一种貌似无规的运动,但支配它这种运动的规律却可用确定型的方程来描述.上面提到的庞加莱在总结天体力学中的问题时,已经对这种现象有了认识.到20世纪50年代,有些物理学家(如玻恩(M.Born))也已明确知道经典力学中会有长期动态的不可预测性.但混沌现象和理论开始受到重视,一般认为契机于60年代两件事.一是罗仑兹(E.Lorenz)在天气预报方程的研究中发现,尽管描述用的方程是确定性的,天气长期动态却是不可预测的.另一是,几位数学家证明了有关经典力学动态的一个定理,即现在按他们的姓称谓的卡姆(KAM)理论.这两件事也分别代表混沌理论两类对象和两种方法：罗仑兹的对象是耗散系统(这类系统和周围环境有联系、有交往,它们在自然和工程中都有),而卡姆的对象是保守系统(当作是孤立的、封闭的,它们在天体研究和统计物理中常见).罗仑兹依靠的是数值计算,卡姆用的是严格数学推理,这两种方法在混沌理论研究里都是必不可少的.当前混沌理论所面临的数学情况比分形理论好些,但不如孤立波.现有的数学有的对混沌理论很起作用,也有些问题则还没有找到称手的数学工具.