(2014•普陀区二模)已知函数f(x)=2x-1的反函数为y=f-1(x),记g(x)=f-1(x-1)
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/07 16:23:32
(2014•普陀区二模)已知函数f(x)=2x-1的反函数为y=f-1(x),记g(x)=f-1(x-1)
(1)求函数y=2f-1(x)-g(x)的最小值;
(2)集合A={x|[1+f(x)]•|f(x)|≥2},对于任意的x∈A,不等式2f-1(x+m)-g(x)≥0恒成立,求实数m的取值范围.
(1)求函数y=2f-1(x)-g(x)的最小值;
(2)集合A={x|[1+f(x)]•|f(x)|≥2},对于任意的x∈A,不等式2f-1(x+m)-g(x)≥0恒成立,求实数m的取值范围.
(1)函数f(x)=2x-1的反函数为y=f-1(x)=log2(x+1),x>-1
∴g(x)=f-1(x-1)=log2x.x>0.
∴函数y=2f-1(x)-g(x)=2log2(x+1)-log2x=log2
(x+1)2
x=log2
x2+2x+1
x=log2(x+
1
x+2),
∵x>0,∴x+
1
x+2≥4,当且仅当x=1时取等号,
∴函数y=2f-1(x)-g(x)的最小值为:log24=2.
(2)∵集合A={x|[1+f(x)]•|f(x)|≥2},
∴[1+f(x)]•|f(x)|≥2,即2x|2x-1|≥2,
可得:
2x−1≥0
22x−2x≥2…①或
2x−1<0
22x−2x≤−2…②
解①得x≥1;解②得:x∈∅.
∴A={x|x≥1},
∴不等式2f-1(x+m)-g(x)≥0,化为2log2(x+m+1)-log2x≥0,
对于任意的x∈A,不等式2f-1(x+m)-g(x)≥0恒成立,
即对于任意的x∈A,不等式2log2(x+m+1)-log2x≥0恒成立,
∴表达式转化为:log2
(x+m+1)2
x≥0,在x≥1时恒成立;
即
(x+m+1)2
x≥1,在x≥1时恒成立;
(x+m+1)2≥x在x≥1时恒成立;
x2+(2m+1)x+(m+1)2≥0,在x≥1时恒成立;
令h(x)=x2+(2m+1)x+(m+1)2,函数的开口向上,要使在x≥1时恒成立;
必须满足
∴g(x)=f-1(x-1)=log2x.x>0.
∴函数y=2f-1(x)-g(x)=2log2(x+1)-log2x=log2
(x+1)2
x=log2
x2+2x+1
x=log2(x+
1
x+2),
∵x>0,∴x+
1
x+2≥4,当且仅当x=1时取等号,
∴函数y=2f-1(x)-g(x)的最小值为:log24=2.
(2)∵集合A={x|[1+f(x)]•|f(x)|≥2},
∴[1+f(x)]•|f(x)|≥2,即2x|2x-1|≥2,
可得:
2x−1≥0
22x−2x≥2…①或
2x−1<0
22x−2x≤−2…②
解①得x≥1;解②得:x∈∅.
∴A={x|x≥1},
∴不等式2f-1(x+m)-g(x)≥0,化为2log2(x+m+1)-log2x≥0,
对于任意的x∈A,不等式2f-1(x+m)-g(x)≥0恒成立,
即对于任意的x∈A,不等式2log2(x+m+1)-log2x≥0恒成立,
∴表达式转化为:log2
(x+m+1)2
x≥0,在x≥1时恒成立;
即
(x+m+1)2
x≥1,在x≥1时恒成立;
(x+m+1)2≥x在x≥1时恒成立;
x2+(2m+1)x+(m+1)2≥0,在x≥1时恒成立;
令h(x)=x2+(2m+1)x+(m+1)2,函数的开口向上,要使在x≥1时恒成立;
必须满足
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