椭圆公式:x^2/2+y^2=1 圆:x^2+y^2=2/3 圆切线交椭圆于A、B,证明以AB为直径的圆恒过定点
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/24 19:23:59
椭圆公式:x^2/2+y^2=1 圆:x^2+y^2=2/3 圆切线交椭圆于A、B,证明以AB为直径的圆恒过定点
设AB:y=kx+m,A(x1,y1)B(x2,y2)
则有:y1=kx1+m,y2=kx2+m
由于AB于圆相切
则圆心(0,0)到AB距离为半径
即:√(2/3)=|k*0-0+m|/[√(1+k^2)]
得:2k^2+2=3m^2 ----(1)
联立y=kx+m与x^2+2y^2=2得:
(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-2=0
则:x1+x2=-4km/(1+2k^2),
x1x2=(2m^2-2)/(1+2k^2)
以AB为直径的圆:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
即:x^2+y^2-x(x1+x2)-y(y1+y2)+(x1x2+y1y2)=0
由于:y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
则:x1x2+y1y2
=(1+k^2)x1x2+mk(x1+x2)+m^2
=[1/(1+2k^2)]*[(1+k^2)(2m^2-2)+mk(-4km)+m^2(1+2k^2)]
=[1/(1+2k^2)]*[(2m^2+2m^2k^2-2-2k^2)-4k^2m^2+m^2+2k^2m^2]
=[1/(1+2k^2)]*[3m^2-2-2k^2]
(1)代入得:
x1x2+y1y2
=[1/(1+2k^2)]*[(2k^2+2)-2-2k^2]
=0
故圆为:x^2+y^2-x(x1+x2)-y(y1+y2)=0
由于点(0,0)恒在该圆上
则:以AB为直径的圆恒过定点(0,0)
原命题得证
则有:y1=kx1+m,y2=kx2+m
由于AB于圆相切
则圆心(0,0)到AB距离为半径
即:√(2/3)=|k*0-0+m|/[√(1+k^2)]
得:2k^2+2=3m^2 ----(1)
联立y=kx+m与x^2+2y^2=2得:
(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-2=0
则:x1+x2=-4km/(1+2k^2),
x1x2=(2m^2-2)/(1+2k^2)
以AB为直径的圆:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
即:x^2+y^2-x(x1+x2)-y(y1+y2)+(x1x2+y1y2)=0
由于:y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
则:x1x2+y1y2
=(1+k^2)x1x2+mk(x1+x2)+m^2
=[1/(1+2k^2)]*[(1+k^2)(2m^2-2)+mk(-4km)+m^2(1+2k^2)]
=[1/(1+2k^2)]*[(2m^2+2m^2k^2-2-2k^2)-4k^2m^2+m^2+2k^2m^2]
=[1/(1+2k^2)]*[3m^2-2-2k^2]
(1)代入得:
x1x2+y1y2
=[1/(1+2k^2)]*[(2k^2+2)-2-2k^2]
=0
故圆为:x^2+y^2-x(x1+x2)-y(y1+y2)=0
由于点(0,0)恒在该圆上
则:以AB为直径的圆恒过定点(0,0)
原命题得证
椭圆公式:x^2/2+y^2=1 圆:x^2+y^2=2/3 圆切线交椭圆于A、B,证明以AB为直径的圆恒过定点
过椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1的右焦点F作直线交椭圆于A,B两点,求证以弦AB为直径的圆与与椭圆的右准线相离
已知椭圆x^2/9+y^2=1设直线l与椭圆M交于A,B两点 且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求三角形ABC面积的最
已知直线y=x-1和椭圆x^2/m+y^2/(m-1)(m>1)交于A和B,若以AB为直径的圆过椭圆的焦点F,则实数m的
已知直线y=x-1和椭圆(x^2/m)+(y^2/m-1)交于A,B两点,若以AB为直径的圆过椭圆的焦点F,则实属m的值
已知直线y=x+1和椭圆x^2/m+y^2/m-1(m>1)交于点A,B,若以AB为直径的圆恰好过椭圆的左焦点F,求实数
椭圆X^2/4+Y^2=1,过椭圆右焦点的直线L交椭圆与A,B两点,做以AB为直径的圆过圆点,求直线L的方程
已知椭圆x^2/9+y^2/4=1,过点P(0,3)作直线L顺次交椭圆于A,B两点,以线段AB为直径作圆,
已知直线y=-x加m与椭圆x2/4+y2/2=1交于A,B两点,若AB为直径的圆过原点
一直椭圆x^2+y^/2=1过点A(-根号3,0)的直线l交椭圆于M、N两点,以MN为直径的圆恰过椭圆中心,求直线方程
已知椭圆C方程4x^2+9y^2=36,直线y=kx+m与椭圆C交于AB两点,且以AB为直径的圆恰好过椭圆右顶点
已知椭圆x^2+2y^2=2与直线l y=2x+2交于A,B两点是否存在一个以AB为直径的圆过坐标原点