自然数a,b,c,d满足等式ab=cd.求证:k=a^1984+b^1984+c^1984+d^1984是合数
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 17:30:17
自然数a,b,c,d满足等式ab=cd.求证:k=a^1984+b^1984+c^1984+d^1984是合数
假设 a不等于c,b不等于d,否则易证
首先,a与b必定一偶一奇,c与d同理 ,否则易证
设a=2^m * p,c=2^n *q,p与q均为奇数,由ab=cd可以推出m=n
则两边消去2的幂后,得到pb=qd
假设p,b互质,则q和d一定一个是p×b,一个是1,不妨设q=p×b,d=1,则c=a×b,则k=a^1984+b^1984+(ab)^1984+1=(a^1984+1)(b^1984+1)是合数
同理q与d互质时易证
假设p,b不互质,q与d不互质,设p,b最大公约数为s,q与d最大公约数为t,则
p=sp',b=sb',q=tq',d=td',其中p'与b'互质,q'与d'互质
则pb=qd可以得出s^2×p'×b'=t^2×q'×d'.如果s和t不互质,则p,b,q,d就有大于1的最大公约数r,那么k必定包含r^1984这个因子,为合数.若s和t互质,那么由式子s^2×p'×b'=t^2×q'×d',s^2必被q'×d'整除,由于q'和d'互质,所以只有q'和d'一个是s^2的整数倍,一个是1,同理p'和b'一个是t^2的整数倍,一个是1,那么p'b'q'd'四个数,必定两个相等,两个是1,带入k仍然易证为合数
再问: 能不能用自然数唯一分解定理解题
再答: 设a=2^m * p,c=2^n *q,这里算是用到了吧,因为一个正整数表示为2的幂次与奇数乘积,唯一。 或者: 由于ab=cd, 故由质因数分解定理知,存在正整数e、f、g、h, 使得c=ef,d=gh,a=eg,b=fh, 于是a^1984+b^1984+c^1984+d^1984=(e^942+h^942)(f^942+g^942) 所以k为合数
首先,a与b必定一偶一奇,c与d同理 ,否则易证
设a=2^m * p,c=2^n *q,p与q均为奇数,由ab=cd可以推出m=n
则两边消去2的幂后,得到pb=qd
假设p,b互质,则q和d一定一个是p×b,一个是1,不妨设q=p×b,d=1,则c=a×b,则k=a^1984+b^1984+(ab)^1984+1=(a^1984+1)(b^1984+1)是合数
同理q与d互质时易证
假设p,b不互质,q与d不互质,设p,b最大公约数为s,q与d最大公约数为t,则
p=sp',b=sb',q=tq',d=td',其中p'与b'互质,q'与d'互质
则pb=qd可以得出s^2×p'×b'=t^2×q'×d'.如果s和t不互质,则p,b,q,d就有大于1的最大公约数r,那么k必定包含r^1984这个因子,为合数.若s和t互质,那么由式子s^2×p'×b'=t^2×q'×d',s^2必被q'×d'整除,由于q'和d'互质,所以只有q'和d'一个是s^2的整数倍,一个是1,同理p'和b'一个是t^2的整数倍,一个是1,那么p'b'q'd'四个数,必定两个相等,两个是1,带入k仍然易证为合数
再问: 能不能用自然数唯一分解定理解题
再答: 设a=2^m * p,c=2^n *q,这里算是用到了吧,因为一个正整数表示为2的幂次与奇数乘积,唯一。 或者: 由于ab=cd, 故由质因数分解定理知,存在正整数e、f、g、h, 使得c=ef,d=gh,a=eg,b=fh, 于是a^1984+b^1984+c^1984+d^1984=(e^942+h^942)(f^942+g^942) 所以k为合数
设a,b,c满足ab+bc+cd+da=1,求证:a^3/(b+c+d)+b^3/(a+c+d)+c^3/(a+b+d)
均值不等式的题目a,b,c,d是非负实数满足ab+ac+ad+cd=1求证a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c
已知:a,b,c,d为自然数,且ab=cd,问:a+b+c+d可否为素数
abcd是实数,ad-bc=1,求证:a+b+c+d+ab+cd≠1
已知,自然数a,b,c,d都可以被 ab-cd整除,且ab-cd>0求证,ab-cd=1
如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么ab
设a,b,c,d是正整数,满足ab=cd,证明a四次方+b四次方+c四次方+d四次方不是素数
设a,b,c,d是非零实数,且(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2,求证:a,
实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.
已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1.ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数
实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd大于1,求证a,b,c,d中至少有一个是负数
知实数a.b.c.d满足a+b=c+d=1.ac+bd>1.求证a.b.c.d中至少有一个是负数