在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=2,以CD为直径作⊙O1,交BC于点E,过点E作EF⊥AB于F,建立如图所示的

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/18 08:10:30

在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=2,以CD为直径作⊙O1,交BC于点E,过点E作EF⊥AB于F,建立如图所示的平面
直角坐标系,已知A,B两点的坐标分别为A（0,2 根3）,B（-2,0）．
（1）求C,D两点的坐标．
（2）求证：EF为⊙O1的切线．
（3）探究：如下右图,线段CD上是否存在点P,使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等?如果存在,请找出P点的坐标；如果不存在,请说明理由．

（1）连接DE,∵CD是⊙O1的直径,
∴DE⊥BC,
∴四边形ADEO为矩形．
∴OE=AD=2,DE=AO=2 3．
在等腰梯形ABCD中,DC=AB．
∴CE=BO=2,CO=4．
∴C（4,0）,D（2,2 3）；
（2）连接O1E,在⊙O1中,O1E=O1C,
∠O1EC=∠O1CE,
在等腰梯形ABCD中,∠ABC=∠DCB．
∴O1E∥AB,
又∵EF⊥AB,
∴O1E⊥EF．
∵E在AB上,
∴EF为⊙O1的切线
（3）解法一：存在满足条件的点P．
如右图,过P作PM⊥y轴于M,作PN⊥x轴于N,依题意得PC=PM,
在矩形OMPN中,ON=PM,
设ON=x,则PM=PC=x,CN=4-x,
tan∠ABO= AOBO=232=3．
∴∠ABO=60°,
∴∠PCN=∠ABO=60°．
在Rt△PCN中,
cos∠PCN= CNPC=12,
即 4-xx=12,
∴x= 83．
∴PN=CN•tan∠PCN=（4- 83）• 3= 433．
∴满足条件的P点的坐标为（ 83, 433）．
解法二：存在满足条件的点P,
如右图,在Rt△AOB中,AB= AO2+BO2=(23)2+22=4．
过P作PM⊥y轴于M,作PN⊥x轴于N,依题意得PC=PM,
在矩形OMPN中,ON=PM,
设ON=x,则PM=PC=x,CN=4-x,
∵∠PCN=∠ABO,∠PCN=∠AOB=90°．
∴△PNC∽△AOB,
∴ PCAB=CNBO,即 x4=4-x2．
解得x= 83．
又由△PNC∽△AOB,得 PNAO=PCAB,即PN23=834,
∴PN= 433．
∴满足条件的P点的坐标为（ 83, 433）．