高中数学圆锥曲线题椭圆方程(x^2)/5 + (y^2)/4 =1,A(5,0),过A作直线L交椭圆于P,Q两点,过P作
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/08 00:23:59
高中数学圆锥曲线题
椭圆方程(x^2)/5 + (y^2)/4 =1,A(5,0),过A作直线L交椭圆于P,Q两点,过P作x轴的垂线交椭圆于另一点S,若向量AP=t·向量AQ(t>1),求证:向量SB=t·向量BQ.
可以写全过程,也可以写解析步骤,看懂就行.
B(1,0)
椭圆方程(x^2)/5 + (y^2)/4 =1,A(5,0),过A作直线L交椭圆于P,Q两点,过P作x轴的垂线交椭圆于另一点S,若向量AP=t·向量AQ(t>1),求证:向量SB=t·向量BQ.
可以写全过程,也可以写解析步骤,看懂就行.
B(1,0)
设P(x1,y1)Q(x2,y2)S(x1,-y1)
直线AP方程:y=k(x-5)
与椭圆方程联立,消去y,得:
(5k^2+4)x^2-50k^2x+125k^2-20=0
x1 x2是该方程的两个根
x1+x2=(50k^2)/(5k^2+4+10)
x1x2=(125k^2-20)/(5k^2+4)
向量AP=(x1-5,y1)
向量AQ=(x2-5,y2)
故t=(x1-5)/(x2-5)=y1/y2
向量SB=(1-x1,y1)
向量BQ=(x2-1,y2)
已得y1/y2=t,下面只要证(1-x1)/(x2-1)=t=(x1-5)/(x2-5)即可
欲证(1-x1)/(x2-1)=(x1-5)/(x2-5)
只需证2x1x2-6(x1+x2)+10=0
只需证2*(125k^2-20)/(5k^2+4)-6*(50k^2)/(5k^2+4+10)=0
经验证,上述等式恒成立
综上,命题得证
ps:题目不是很难,但编辑符号着实费了很大功夫,看的不方便之处还望海涵
直线AP方程:y=k(x-5)
与椭圆方程联立,消去y,得:
(5k^2+4)x^2-50k^2x+125k^2-20=0
x1 x2是该方程的两个根
x1+x2=(50k^2)/(5k^2+4+10)
x1x2=(125k^2-20)/(5k^2+4)
向量AP=(x1-5,y1)
向量AQ=(x2-5,y2)
故t=(x1-5)/(x2-5)=y1/y2
向量SB=(1-x1,y1)
向量BQ=(x2-1,y2)
已得y1/y2=t,下面只要证(1-x1)/(x2-1)=t=(x1-5)/(x2-5)即可
欲证(1-x1)/(x2-1)=(x1-5)/(x2-5)
只需证2x1x2-6(x1+x2)+10=0
只需证2*(125k^2-20)/(5k^2+4)-6*(50k^2)/(5k^2+4+10)=0
经验证,上述等式恒成立
综上,命题得证
ps:题目不是很难,但编辑符号着实费了很大功夫,看的不方便之处还望海涵
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