阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/11/06 13:52:43

阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为

（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，
∴△APC≌△EDC，
∴∠ACP=∠ECD，AC=EC=5，∠PCD=60°，
∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB，
∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°，
∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°．

在Rt△BCE中，∵∠BCE=90°，BC=6，CE=5，
∴BE=
BC2+CE2=
62+52=
61，
即PA+PB+PC的最小值为
61；

（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，
则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段；

②如图，当B、P、E、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，
∴△APC≌△DEC，
∴CP=CE，∠PCE=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PE=CE=CP，∠EPC=∠CEP=60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP=∠CBP=
1
2∠ABC=30°，
∴∠PCB=∠EPC-∠CBP=60°-∠30°=30°，
∴∠PCB=∠CBP=30°，
∴BP=CP，
同理，DE=CE，
∴BP=PE=ED．
连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=30°，BC=4，
∴BO=BC•cos∠OBC=4×

3
2=2
3，
∴BD=2BO=4
3，
∴BP=
1
3BD=
4
3
3．
即当PA+PB+PC值最小时PB的长为
4
3
3．
故答案为：
61．

22．阅读下列材料小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC内 16.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1,在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中,AB=2,AC=4,以如图1,三角形ABC中,角ACB=30度,BC=6,AC=5,在三角形ABC那边有一点P,连接PA PB PC,求PA+ 如图，△ABC中，有一点P在AC上移动.若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（　　）如图,在△ABC中,BC与AB差为17,和为31,AC比BC多1,在△ABC内部有一点P,点P到△ABC各边距离为PO. 如图,△ABC中,AB=BC=AC,∠ACB=60° 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，CF，BE交于点P，AC=4cm，BC=3cm 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,AM=AC,BN=BC.求MN的长如图在△abc中∠acb=90°ac=bc=1 将△abc绕点c逆时针旋转角a(0° 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm．P为BC的中点,动点Q从点P出发,沿射线PC方向以如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,P为BC的中点．动点Q从点P出发,沿射线PC方如图2,三角形ABC中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,试求AP+BP+CP的最小值