证明下列命题:(1)若函数f(x)可导且为周期函数,则f′(x)也为周期函数;(2)可导的奇函数的导函数是偶函数.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 10:27:00
证明下列命题:
(1)若函数f(x)可导且为周期函数,则f′(x)也为周期函数;
(2)可导的奇函数的导函数是偶函数.
(1)若函数f(x)可导且为周期函数,则f′(x)也为周期函数;
(2)可导的奇函数的导函数是偶函数.
证明:(1)设f(x)的周期为T,则f(x)=f(x+T).
∴f′(x)=[f(x+T)]′=f′(x+T)•(x+T)′
=f′(x+T),即f′(x)为周期函数且周期与f(x)的周期相同.…(5分)
(2)∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴[f(-x)]′=[-f(x)]′.
∴f′(-x)•(-x)′=-f′(x).
∴f′(-x)=f′(x),即f′(x)为偶函数 …(10分)
∴f′(x)=[f(x+T)]′=f′(x+T)•(x+T)′
=f′(x+T),即f′(x)为周期函数且周期与f(x)的周期相同.…(5分)
(2)∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴[f(-x)]′=[-f(x)]′.
∴f′(-x)•(-x)′=-f′(x).
∴f′(-x)=f′(x),即f′(x)为偶函数 …(10分)
已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x),证明它是周期函数!
已知函数f(x)的定义域为R.且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证f(x)是周期函数;(2)若f(x)是奇函数,且
设函数f(x)在区间(-a,a)(a>0)内为奇函数且可导,证明:f′(x)是(-a,a)内的偶函数.
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x)=f(2-x),当x属于【0,1】f(x)=x^2判断是否为周期函数
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称,证明函数f(x)是周期函数
周期函数 fx是定义在R上的奇函数,且f(x-2)是偶函数,求函数最小正周期
函数y=f(x)是偶函数,且是周期为2的周期函数,当x∈[2,3]时,f(x)=x-1,在y=f(x)
设f(x)在(-∞,+∞)上可导,试证明:(1)奇函数的导函数为偶函数 (2)偶函数的导函数为奇函数
函数f(x)是定义域为R的偶函数,又是以2为周期的周期函数、若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[2,3]
y=f(x)是偶函数,y=f(x+1)是奇函数,那么这个函数一定是周期为2的周期函数.
设F(X)是定义在R上的函数,且F(X+2)=F(-X)F(X)是奇函数,证明F(x)是周期函数
、已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x) 求证:f(x)是周期函数