已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax．

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/30 13:30:24

已知a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[-3，0]，x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求实数m的取值范围．

（ I）f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
①当a＜1时，由f'（x）＞0，得x＜a或x＞1，由f'（x）＜0，得a＜x＜a，
∴f（x）的增区间为（-∞，a），（1，+∞），减区间为（a，1）；
②当a=1时，f'（x）=6（x-1）²≥0，
∴f（x）的增区间为（-∞，+∞）；
③当a＞1时，由f'（x）＞0，得x＜1或x＞a，由f'（x）＜0，得1＜x＜a，
∴f（x）的增区间为（-∞，1），（a，+∞），减区间为（1，a）．
（Ⅱ）对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，等价于m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，
由（ I）可得，f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且f（0）=0，f（2）=4，
∴|f（x₁）-f（x₂）|_max=f（2）-f（1）=5-3a，
则问题转化为对于任意的a∈[-3，0]，m-am²≥5-3a恒成立，即对于任意的a∈[-3，0]，（m²-3）a-m+5≤0恒成立．
构造g（a）=（m²-3）a-m+5，a∈[-3，0]，只需

g(-3)≤0
g(0)≤0，解得m∈[5，+∞）．
∴实数m的取值范围是[5，+∞）．

（2014•江苏模拟）已知函数f（x）=x3+x2-ax（a∈R）．设函数f（x）=6x3+3（a+2）x2+2ax．已知函数f （x）=x3+32（1-a）x2-3ax+1，a＞0．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x33-x2-2ax（a∈R），已知函数f（x）=x2-lnx-ax，a∈R．已知函数f（x）=lnx+x2-ax，a∈R．已知函数f(x)＝−2a2lnx+12x2+ax（a∈R）．已知函数f(x)＝13x3−2x2+ax(a∈R，x∈R)在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x 已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）．若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜已知函数f（x）=x3-ax2+3x，a∈R．已知函数f（x）=x3-ax2-3x，a∈R．已知函数f（x）=x2+ax（x≠0，a∈R）