已知函数f(x)=ln(ex+a)(a>0).
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/05 13:30:16
已知函数f(x)=ln(ex+a)(a>0).
(1)求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)及f(x)的导数f′(x);
(2)假设对任意x∈[ln(3a),ln(4a)],不等式|m-f-1(x)|+ln(f′(x))<0成立,求实
数m的取值范围.
(1)求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)及f(x)的导数f′(x);
(2)假设对任意x∈[ln(3a),ln(4a)],不等式|m-f-1(x)|+ln(f′(x))<0成立,求实
数m的取值范围.
(1)、设y=ln(ex+a),a>0,则ey=ex+a,∴ex=ey-a,a>0,∴x=ln(ey-a),x,y互换得到函数y=f(x)的反函数f-1(x)=ln(ex-a),x∈R;f′(x)=
ex
ex+a.
(2)、由|m-f-1(x)|+ln(f'(x))<0得ln(ex-a)-ln(ex+a)+x<m<ln(ex-a)+ln(ex+a)-x.
设ϕ(x)=ln(ex-a)-ln(ex+a)+x,ψ(x)=ln(ex-a)+ln(ex+a)-x,
于是原不等式对于x∈[ln(3a),ln(4a)]恒成立等价于ϕ(x)<m<ψ(x).
由ϕ′(x)=
ex
ex−a−
ex
ex+a+1,ψ′(x)=
ex
ex−a+
ex
ex+a−1,注意到0<ex-a<ex<ex+a,故有ϕ'(x)>0,ψ'(x)>0,从而可ϕ(x)与ϕ(x)均在[ln(3a),ln(4a)]上单调递增,因此不等式ϕ(x)<m<ψ(x)成立当且仅当ϕ(ln(4a))<m<ψ(ln(3a)).即ln(
12
5a)<m<ln(
8
3a).
ex
ex+a.
(2)、由|m-f-1(x)|+ln(f'(x))<0得ln(ex-a)-ln(ex+a)+x<m<ln(ex-a)+ln(ex+a)-x.
设ϕ(x)=ln(ex-a)-ln(ex+a)+x,ψ(x)=ln(ex-a)+ln(ex+a)-x,
于是原不等式对于x∈[ln(3a),ln(4a)]恒成立等价于ϕ(x)<m<ψ(x).
由ϕ′(x)=
ex
ex−a−
ex
ex+a+1,ψ′(x)=
ex
ex−a+
ex
ex+a−1,注意到0<ex-a<ex<ex+a,故有ϕ'(x)>0,ψ'(x)>0,从而可ϕ(x)与ϕ(x)均在[ln(3a),ln(4a)]上单调递增,因此不等式ϕ(x)<m<ψ(x)成立当且仅当ϕ(ln(4a))<m<ψ(ln(3a)).即ln(
12
5a)<m<ln(
8
3a).
已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0).
已知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.
已知函数f(x)=ex-ln(x+m)
已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).
(2014•淄博一模)已知函数f(x)=ex-m-ln(2x).
已知函数f(x)=ex-ax,a∈R.
已知f(x)=ln(ex+a)是定义域为R的奇函数,g(x)=λf(x).
已知函数f(x)=x2+ex-12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围
已知函数f(x)=ln(ax)/(x+1) - ln(ax) + ln(x+1),(a不等于0且为R) 1.求函数f(x
已知函数f(x)=ex+ax,g(x)=ax-lnx,其中a≤0.
已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=λf(x)+sinx(λ≤-1)是区间