设X≥Y≥Z≥π/12,且X+Y+Z=π/2

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/10/04 15:38:26

设X≥Y≥Z≥π/12,且X+Y+Z=π/2
求乘积cosXsinYcosZ的最大值和最小值

首先,Z不会小于π/12,不会大于π/6,其次,
cosX递减,而sinY递增,那么对于任何的Z,当cosXsinYcosZ取得极大值时,必定cosX结果为正,并且cosX越大时,sinY越大,所以必然X=Y,
cosXsinYcosZ化为
cosXsinXcos(π/2-2X)
=-1/2sin2Xcos2X
=-1/4sin4X
X取值范围为[π/6,5π/24],4X取值为[2π/3,5π/6],该范围包含3π/4
所以cosXsinYcosZ最大值为1/4,此时X=Y=3π/16π,Z=π/8
cosXsinYcosZ取得最小时,由于X可取得[π/6,π/3],
所以cosX必为负,且此条件下:
X越大,结果越小
Y越大,结果越小
Z越大,结果越大,
所以Z应该取尽量小,这个取值的影响只会让结果越小,而不会变大,所以X+Y=5π/12
cosXsinYcosZ化为
cos(X)sin(Y)*√3/2
=√3/4*(sin(5π/12)+sin(2Y-5π/12))(积化和差公式)
Y取值为[π/12,π/6],2Y-5π/12为[-π/4,-π/12],当Y等于π/12时,sin(2Y-5π/12)取得极小值-1
cosXsinYcosZ极小值等于
√3/4*(1/2-1)=-√3/8
此时Z=Y=π/12,X=π/3

已知 x,y,z都是正实数,且 x+y+z=xyz 证明 (y+x)/z+(y+z)/x+(z+x)/y≥2(1/x+1 设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}．令集合S={（x,y,z）|x,y,z∈X,且三条件x＜y＜z,y＜z＜x 已知x,y,z都是正数,且xyz=1,求证：x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)≥3/2 若x,y,z是正实数,且x+y+z=xyz,证明：(y+z/x)+(z+x/y)+(x+y/z)≥2倍的(1/x)+(1 设x,y,z≥0,且xy+yz+xz=1,求1/x^2+1/y^2+1/z^2的最小值设x,y,z≥0,且x+y+z=1,求证：0≤xy+yz+xz-2xyz≤7/27 设x>y>z,n为整数,且1／x-y + 1／y-z ≥ n／x-z恒成立,那么n最大值多少? 设变量x,y,z满足约束条件：x+y+z=1,0≤x≤1,0≤y≤2,3y+z≥2,求F=3x+6y+4z的最大值. 设x，y，z满足约束条件组x+y+z＝13y+z≥20≤x≤10≤y≤1，求u=2x+6y+4z的最大值和最小值（　　）设x,y,z∈,R求证：x²+xz+z²+3y(X+y+z)≥0 设变量x y满足约束条件x-y≥-1 x+y≥1 2x-y≤1 z=(x-2y)/(x+y)的最大值求解2x≥x+y+z 4y≥x+y+Z 8z≥x+y+z x、y、z均大于0