大师作文网康托尔集是不可数的,怎么证明是零测度集?
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 06:24:50
康托尔集是不可数的,怎么证明是零测度集?
康托尔集如下定义：集合[0,1]用3进制表示,0.a1a2a3...,其中a1,a2,a3...只能取0,1,2,康托尔集要求a1,a2,a3...不能取1.
康托尔集如下定义：集合[0,1]用3进制表示,0.a1a2a3...,其中a1,a2,a3...只能取0,1,2,康托尔集要求a1,a2,a3...不能取1.
只需证明它抹去的测度为1,那么它剩下的测度就是0.
首先,小数点后第1位是1的都被抹去了,它们的测度是：1/3
剩下的是：小数点后第1位是0或2的数,它们的测度是：2/3
其中小数点后第2位是1的又被抹去了,这次被抹去的测度是：2/3 * 1/3
再剩下的是：小数点后第1、2位都是0或2,它们的测度是：(2/3)^2
在它们之中,小数点后第3位是1的被抹去了,所以又被抹去了测度：(2/3)^2 * 1/3
……
这么一直算下去,被抹去的测度是：(1/3) * (1 + (2/3) + (2/3)^2 + ... ) = 1
所以剩下的测度就只是0了.
再问： 只需证明它抹去的测度为1，那么它剩下的测度就是0。
您的方法确实好，但上面这种说法不够精确，能否根据定义来说明，谢谢。
再答： 已经精确的不能再精确了。。。
证明Cantor集的补集的测度是1。
一个数在Cantor集的补集中，那么它一定有一位是1。
按照距离小数点最近的那个1，将Cantor集的补集中的数分类：
小数点后第1位是1的数，测度：1/3
……
小数点后第1到r-1位都不是1，但第r位是1的数，测度：(2/3)^(r-1) * (1/3)
……
最后加起来，得到测度是1。
再问： 补集的测度是1，那集合的测度是怎么定义的，卓里奇的数学分析书上只把集合分为两种，零测度集和不是零测度集。可能太多东西还没学，谢谢你。
首先,小数点后第1位是1的都被抹去了,它们的测度是：1/3
剩下的是：小数点后第1位是0或2的数,它们的测度是：2/3
其中小数点后第2位是1的又被抹去了,这次被抹去的测度是：2/3 * 1/3
再剩下的是：小数点后第1、2位都是0或2,它们的测度是：(2/3)^2
在它们之中,小数点后第3位是1的被抹去了,所以又被抹去了测度：(2/3)^2 * 1/3
……
这么一直算下去,被抹去的测度是：(1/3) * (1 + (2/3) + (2/3)^2 + ... ) = 1
所以剩下的测度就只是0了.
再问： 只需证明它抹去的测度为1，那么它剩下的测度就是0。
您的方法确实好，但上面这种说法不够精确，能否根据定义来说明，谢谢。
再答： 已经精确的不能再精确了。。。
证明Cantor集的补集的测度是1。
一个数在Cantor集的补集中，那么它一定有一位是1。
按照距离小数点最近的那个1，将Cantor集的补集中的数分类：
小数点后第1位是1的数，测度：1/3
……
小数点后第1到r-1位都不是1，但第r位是1的数，测度：(2/3)^(r-1) * (1/3)
……
最后加起来，得到测度是1。
再问： 补集的测度是1，那集合的测度是怎么定义的，卓里奇的数学分析书上只把集合分为两种，零测度集和不是零测度集。可能太多东西还没学，谢谢你。