如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,AB=4,PA=3,A点在PD上的射影为G点,
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 13:21:03
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,AB=4,PA=3,A点在PD上的射影为G点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(Ⅰ)求证:AG∥平面PEC;
(Ⅱ)求AE的长;
(Ⅲ)求二面角E-PC-A的正弦值.
(Ⅰ)求证:AG∥平面PEC;
(Ⅱ)求AE的长;
(Ⅲ)求二面角E-PC-A的正弦值.
(Ⅰ)证明:∵CD⊥AD,CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG,
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD …(2分)
作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD∴EF∥AG
又AG⊄面PEC,EF⊂面PEC,
∴AG∥平面PEC …(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A、E、F、G四点共面,又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF∴四边形AEFG为平行四边形,∴AE=GF …(5分)
∵PA=3,AB=4∴PD=5,AG=
12
5,
又PA2=PG•PD∴PG=
9
5…(6分)
又
GF
CD=
PG
PD∴GF=
9
5×4
5=
36
25∴AE=
36
25…(8分)
(Ⅲ)过E作EO⊥AC于O点,易知EO⊥平面PAC,
又EF⊥PC,∴OF⊥PC∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角 …(10分)EO=AE•sin45°=
36
25×
2
2=
18
2
25,又EF=AG=
12
5
∴sin∠EFO=
EO
EF=
18
2
25×
5
12=
3
2
10…(13分)
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG,
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD …(2分)
作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD∴EF∥AG
又AG⊄面PEC,EF⊂面PEC,
∴AG∥平面PEC …(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A、E、F、G四点共面,又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF∴四边形AEFG为平行四边形,∴AE=GF …(5分)
∵PA=3,AB=4∴PD=5,AG=
12
5,
又PA2=PG•PD∴PG=
9
5…(6分)
又
GF
CD=
PG
PD∴GF=
9
5×4
5=
36
25∴AE=
36
25…(8分)
(Ⅲ)过E作EO⊥AC于O点,易知EO⊥平面PAC,
又EF⊥PC,∴OF⊥PC∴∠EFO即为二面角E-PC-A的平面角 …(10分)EO=AE•sin45°=
36
25×
2
2=
18
2
25,又EF=AG=
12
5
∴sin∠EFO=
EO
EF=
18
2
25×
5
12=
3
2
10…(13分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,AB=4,PA=3,A点在PD上的射影为G点,
如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,P点在平面ABCD内的射影为A,且PA=AB=2,E为PD中点
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直于平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA=AB=4,G为PD中点,E点在AB上
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=AB=AD=1,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,求四棱锥的表面积
如图,在四棱锥P‐ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.求证:
如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,P点在平面ABCD内的射影为A,则二面角
在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB垂直AC.PA垂直平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点
在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB垂直AC,PA垂直平面ABCD,且PA=AB,点E是PD中点
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA=PD,PA垂直PD,PA垂直平面PDC, E为棱PD的中点
如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.
在四棱锥P-ABCD中,PD垂直于底面ABCD,底面ABCD为正方形,M为PC的中点,PD=AB,求证PA平行平面MBD
如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,点E,F分别为AB、PD的中点