如图，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点在直线l：x=1上，离心率e=12．设P，Q为椭圆上不同的两点，
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/09/24 03:28:44
如图，椭圆
| x
（1）由题意可得
c＝1
e＝
c
a＝
1
2
a2＝b2+c2，解得
a＝2
b2＝3，∴椭圆的方程为
x2
4+
y2
3＝1；
（2）证明：设T（1，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．
则
RT=(
3
4，y0)，
PQ＝(x2−x1，y2−y1)，
∴
RT•
PQ=
3
4(x2−x1)+y0(y2−y1)，
由点P，Q在椭圆上，∴
x21
4+
y21
3＝1，
x22
4+
y22
3＝1，
两式相减得
(x1+x2)(x1−x2)
4+
(y1+y2)(y1−y2)
3=0，
∵x1+x2=2，y1+y2=2y0，
∴
3
4(x1−x2)+y0(y1−y2)＝0．
∴
RT•
PQ＝0．
∴PQ⊥RT．
即RT是线段PQ的垂直平分线，故恒有|RT|=|RQ|．
（3）①当PQ的斜率不存在时，△PQR不是等边三角形；
②当PQ的斜率存在时，由（2）可知：k=0时不符合题意．
假设k≠0，△PQR为等边三角形，则|RT|＝
3
2|PQ|，
设PQ的中点T（1，y0），此时，|RT|2＝
3
4|PQ|2．
∴(1−
1
4)2+(y0−0)2=
3
4[
1+k2•
(x1+x2)2−4x1x2]2，
∴
9
16+(
y1+y2
2)2＝
3
4(
1+k2•
4−4•
4m2−12
4k2+3)2，
代入化为
9
16+
9
16k2=3(1+k2)(1−
4k2+
9
4k2−6
4k2+3)=3（1+k2）
9−
9
4k2
4k2+3，
解得k2＝
15
44．
由△＞0，得64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）＞0，
把m＝−k−
3
4k代入上式得k2＞
1
4，∴k2＝
15
44符合题意．
∴△PQR能为等边三角形．
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