（2014•乌鲁木齐一模）已知函数f（x）=ex-e-x（xϵR）

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/10/04 17:30:13

（2014•乌鲁木齐一模）已知函数f（x）=e^x-e^-x（xϵR）
（Ⅰ）求证：当x≥0时，f(x)≥2x+

（Ⅰ）令g(x)＝f(x)−2x−
x3
3，(x≥0)
则g'（x）=f'（x）-2-x²=e^x+e^-x-2-x²，g''（x）=f（x）-2x，
∵g'''（x）=f'（x）-2=e^x+e^-x-2
当x≥0时，e^x＞0，e^-x＞0，∴ex+e−x≥2
ex•e−x＝2
∴g'''（x）≥0，∴函数y=g''（x）（x≥0）为增函数，
∴g''（x）≥g''（0）=0，即f（x）-2x≥0
∴函数y=g'（x）（x≥0）为增函数，
∴g'（x）≥g'（0）=0，即e^x+e^-x≥2+x²
∴函数y=g（x）（x≥0）为增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，即当x≥0时，f(x)≥2x+
x3
3成立；
（Ⅱ）（1）当a≤2时，∵H（x）=f（x）-ax
∴H′(x)＝f′(x)−a＝ex+e−x−a≥2
ex•e−x−a＝2−a≥0
∴函数y=H（x）（x∈R）为增函数，
当x＞0时，H（x）＞H（0）=0，当x＜0时，H（x）＜H（0）=0，
∴当a≤2时，函数y=H（x）的零点为x=0，其零点个数为1个
（2）当a＞2时，∵对∀x∈R，H（-x）=-H（x）
∴函数y=H（x）为奇函数，且H（0）=0
下面讨论函数y=H（x）在x＞0时的零点个数：
由（Ⅰ）知，当x₀＞0时，ex0+e−x0＞2，令a＝ex0+e−x0
∴H(x)＝f(x)−(ex0+e−x0)x (x＞0)
则H′(x)＝f′(x)−(ex0+e−x0)，H''（x）=f''（x）=e^x-e^-x
当x＞0时，e^x＞1，0＜e^-x＜1，∴e^x-e^-x＞0，∴H''（x）＞0
∴函数y=H'（x）（x＞0）为增函数
∴当0＜x≤x₀时，H'（x）≤H'（x₀）=0；当x＞x₀时，H'（x）≥H'（x₀）=0
∴函数y=H（x）（x＞0）的减区间为（0，x₀]，增区间为（x₀，+∞）
∴当0＜x＜x₀时，H（x）＜H（0）=0
即对∀x₀∈（0，x₀]时，H（x）＜0
又由（Ⅰ）知，H(x)＝f(x)−(ex0+e−x0)x≥2x+
x3
3−(ex0+e−x0)x

（2014•漳州二模）已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（2013•陕西）已知函数f（x）=ex，x∈R．已知函数f(x)=ex-kx,x属于R（e是自然对数的底数）（2014•石家庄二模）已知函数f（x）=ex-ax-1（a∈R），其中e为自然对数的底数．设函数f（x）=ex-e-x （2014•淄博一模）已知函数f（x）=ex-m-ln（2x）．已知函数f（x）=-x²+2ex+m,g(x)=x+e²/x(x>0) （2012•温州一模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时f（x）=ex+a，若f（x）在R上是单调函数，则实（2013•长春一模）已知函数f（x）=ex（ax2-2x-2），a∈R且a≠0．已知函数f（x）=ex，x∈R．（2012•温州一模）已知函数f（x）=（2x+a）•ex（e为自然对数的底数）．（2008•广州一模）已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．