Γ(x)称为伽马函数,他的一个性质Γ(1/2)=√π怎么证明啊?
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 05:27:52
Γ(x)称为伽马函数,他的一个性质Γ(1/2)=√π怎么证明啊?
Γ(1/2)=int(e^x/sqrt(x),x=0..+无穷)
(就是x^(1/2-1)*e^x从0到正无穷的积分)
换元积分,令sqrt(x)=t,则
e^x/sqrt(x)=e^(t^2)/t
x=t^2,dx=2tdt
由x的范围可知t的范围也是0到正无穷
所以
Γ(1/2)=int(e^(t^2)*2t/t,t=0..+无穷)
=int(2e^(t^2),t=0..+无穷)
而e^(t^2)从0到正无穷的积分是sqrt(Pi)/2,(根据正态分布的密度函数)
(或者利用极坐标的二重积分计算该积分的平方,)
所以Γ(1/2)=sqrt(Pi)
(就是x^(1/2-1)*e^x从0到正无穷的积分)
换元积分,令sqrt(x)=t,则
e^x/sqrt(x)=e^(t^2)/t
x=t^2,dx=2tdt
由x的范围可知t的范围也是0到正无穷
所以
Γ(1/2)=int(e^(t^2)*2t/t,t=0..+无穷)
=int(2e^(t^2),t=0..+无穷)
而e^(t^2)从0到正无穷的积分是sqrt(Pi)/2,(根据正态分布的密度函数)
(或者利用极坐标的二重积分计算该积分的平方,)
所以Γ(1/2)=sqrt(Pi)
设X~N(0,1).利用伽马函数的定义与性质,证明E【X^2n】=1*3*5……*(2n-1).
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为什么函数Y=X^2+1称为实数集到实数集的函数
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y=x^2的函数性质.
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