大师作文网直线与双曲线交点的中点轨迹
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 07:41:52
直线与双曲线交点的中点轨迹
双曲线：x^2 - y^2/2 = 1
直线：x - y + m = 0
直线与双曲线交于不同的两点A,B
且线段AB的中点在圆 x^2+y^2=5 上
求 m 的值
双曲线：x^2 - y^2/2 = 1
直线：x - y + m = 0
直线与双曲线交于不同的两点A,B
且线段AB的中点在圆 x^2+y^2=5 上
求 m 的值
设A(x1,y1);B(x2,y2)
则x1^2 - y1^2/2 = 1
x2^2 - y2^2/2 = 1
2个式子相减得
2(x1^2-x2^2)=y1^2-y2^2
因式分解
2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)
直线AB的斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
所以k=2*(x1+x2)/(y1+y2)
根据x - y + m = 0
k=1,所以y1+y2=2(x1+x2),设x1+x2=p,那么y1+y2=2p
而AB的中点坐标应该是((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),也就是(0.5p,p)
因为线段AB的中点在圆 x^2+y^2=5 上
所以[(p^2)/4]+p^2=5；化简(p^2)*(5/4)=5
p^2=4,p=2或-2
也就是说AB中点坐标为(1,2)或(-1,-2)
因为线段AB在直线上,所以AB中点在直线上,
所以1-2+m=0或者-1+2+m=0
所以m=1或-1
注：此类与中点轨迹有关的问题,一般考虑将2个式子求差（就是第一步）,然后可以推出直线的斜率
则x1^2 - y1^2/2 = 1
x2^2 - y2^2/2 = 1
2个式子相减得
2(x1^2-x2^2)=y1^2-y2^2
因式分解
2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)
直线AB的斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
所以k=2*(x1+x2)/(y1+y2)
根据x - y + m = 0
k=1,所以y1+y2=2(x1+x2),设x1+x2=p,那么y1+y2=2p
而AB的中点坐标应该是((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),也就是(0.5p,p)
因为线段AB的中点在圆 x^2+y^2=5 上
所以[(p^2)/4]+p^2=5；化简(p^2)*(5/4)=5
p^2=4,p=2或-2
也就是说AB中点坐标为(1,2)或(-1,-2)
因为线段AB在直线上,所以AB中点在直线上,
所以1-2+m=0或者-1+2+m=0
所以m=1或-1
注：此类与中点轨迹有关的问题,一般考虑将2个式子求差（就是第一步）,然后可以推出直线的斜率
双曲线与直线的交点问题.
关于双曲线与直线的交点问题
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