(2014•德阳一模)已知函数F(x)=lnx-ax-a−1x+1.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 17:21:58
(2014•德阳一模)已知函数F(x)=lnx-ax-
a−1 |
x |
(1)由题意得F′(x)=
1
x-a+
a−1
x2,
∴F′(2)=
1
2-a+
a−1
4=0⇒a=
1
3,
(2)由(1)得F′(x)=
−(x−1)(ax+a−1)
x2,
①当0<a<
1
2时,
1−a
a=
1
a-1>1,
故x∈(0,1)时F′x)<0,
x∈(1,
1
a-1)时,F′(x)>0,
x∈(
1
a-1,+∞)时,F′(x)<0,
即F(x)在(0,1)上递减,在(1,
1
a-1)上递增,在(
1
a-1,+∞)上递减;
②a=
1
2时,F′(x)=
−(x−1)2
2x2≤0,(当且仅当x=1时等号成立),
故F(x)在(0,+∞)上递减,
综上:当0<a<
1
2时F(x)在(0,1)上递减,在(1,
1
a-1)上递增,在(
1
a-1,+∞)上递减;
a=
1
2时,F(x)在(0,+∞)上递减;
(3)由题意
F(x1)−F(x2)
x1−x2>-a-1,∀x1≠x2,x1,x2∈[1,2]恒成立,
不妨设x1>x2,则
F(x1)−F(x2)
x1−x2>-a-1⇔F(x1 )-F(x2 )>-(a+1)x1+(a+1)x2,
即F(x1 )+(a+1)x1>F(x2 )+(a+1)x2,函数y=F(x)+(a+1)x在[1,2]上递增,
∴y′=
1
x-a+
a−1
x2,
∴F′(2)=
1
2-a+
a−1
4=0⇒a=
1
3,
(2)由(1)得F′(x)=
−(x−1)(ax+a−1)
x2,
①当0<a<
1
2时,
1−a
a=
1
a-1>1,
故x∈(0,1)时F′x)<0,
x∈(1,
1
a-1)时,F′(x)>0,
x∈(
1
a-1,+∞)时,F′(x)<0,
即F(x)在(0,1)上递减,在(1,
1
a-1)上递增,在(
1
a-1,+∞)上递减;
②a=
1
2时,F′(x)=
−(x−1)2
2x2≤0,(当且仅当x=1时等号成立),
故F(x)在(0,+∞)上递减,
综上:当0<a<
1
2时F(x)在(0,1)上递减,在(1,
1
a-1)上递增,在(
1
a-1,+∞)上递减;
a=
1
2时,F(x)在(0,+∞)上递减;
(3)由题意
F(x1)−F(x2)
x1−x2>-a-1,∀x1≠x2,x1,x2∈[1,2]恒成立,
不妨设x1>x2,则
F(x1)−F(x2)
x1−x2>-a-1⇔F(x1 )-F(x2 )>-(a+1)x1+(a+1)x2,
即F(x1 )+(a+1)x1>F(x2 )+(a+1)x2,函数y=F(x)+(a+1)x在[1,2]上递增,
∴y′=
(2012•德阳二模)已知函数f(x)=lnx,g(x)=k•x−1x+1
(2014•西城区一模)已知函数f(x)=lnx-ax,其中a∈R.
(2011•深圳一模)已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).
已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R).
已知函数f(x)=lnx+ax+(a+1)/x
(2012•资阳一模)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).
已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R.
(2014•商丘二模)已知函数f(x)=lnx-x-ax,a∈R.
已知函数f(x)=lnx-ax+1−ax
(2013•威海二模)已知函数f(x)=ax+lnx,x∈[1,e].
已知函数f(x)=lnx-(a/x),g(x)=e^x(ax+1),a为常数