关于同余方程的解(1)证明x(x+1)≡-1(mod17)无解(2)证明x(x+1)≡-1(mod59)无解特别是第2个

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/15 22:19:47

关于同余方程的解
(1)证明x(x+1)≡-1(mod17)无解
(2)证明x(x+1)≡-1(mod59)无解
特别是第2个,除了把1,2,3,...,29代入计算还有什么方法?
x(x+1)≡-1(mod31)就有解x≡5

这个要用二次剩余理论, 包括二次互反律.
对质数p, 以及p互质的整数a, 用(a|p)表示Legendre符号:
即当x² ≡ a (mod p)有解时, (a|p) = 1, 无解时(a|p) = -1.
(1) x(x+1) ≡ -1 (mod 17)等价于(2x+1)² = 4x(x+1)+1 ≡ -3 (mod 17).
只需要说明-3不是mod 17的二次剩余即可, 即(-3|17) = -1.
由17 ≡ 1 (mod 4), 可知(-1|17) = 1.
而(-3|17) = (-1|17)·(3|17), 于是只需说明(3|17) = -1.
这里由二次互反律, (3|17)·(17|3) = (-1)^((3-1)(17-1)/4) = 1,
得(3|17) = (17|3) = (2|3) = -1.
(2) x(x+1) ≡ -1 (mod 59)等价于(2x+1)² = 4x(x+1)+1 ≡ -3 (mod 59).
由59 ≡ 3 (mod 4), 可知(-1|59) = -1.
又由二次互反律, (3|59)·(59|3) = (-1)^((3-1)(59-1)/4) = -1.
故(3|59) = -(59|3) = -(2|3) = 1.
因此(-3|59) = (-1|59)·(3|59) = -1.
-3不是mod 59的二次剩余, 方程无解.
至于x(x+1) ≡ -1 (mod 31)有解, 可同样化为证明(-3|31) = 1.
类似上面过程有(-1|31) = -1, (3|31) = -(31|3) = -(1|3) = -1, 因此(-3|31) = (-1|31)·(3|31) = 1.
实际上, 述过程可以证明一般结果:
对于质数p > 3, x(x+1) ≡ -1 (mod p)有解当且仅当p ≡ 1 (mod 3).

已知关于x的方程a^x+a^-x=2a(a>0,a不等于1)证明在区间[-1,1]内,方程无解已知i是虚数关于X的方程为x^2-x+(x+2i)=3+7i/1-i （1）证明方程无实数解（2）若x属于C求方程的解已知关于x的方程新的x-2x-m+1=0无实数根,证明关于x的方程x-（m+2）x+2（m+1）=0必有2个实数根. 关于x的方程(x-1)/(x-5)=m/(10-2x)无解,则m=? 若关于x的分式方程(x-5)分之(x-1)=(10-2x)分之m无解若关于x的方程x-1/x-5=m/10-2x无解,则m= 若关于x的方程x-1/x-5=m/10-2x无解,则m=? 若关于x的分式方程（x-1）/（x-2）-（x+2）/x=a/（2x-x^2）无解,则a 已知关于X的方程x-2x-m+1=0无实数根,证明关于x的方程x-（m+2)x+(2m+1)=0必有两个不相等的实数根设n是正整数,p是素数,(n,p−1）=k,证明同余方程x^n≡1(mod p)有k个解. 已知关于x的方程2/（x+1)-5/(1-x)=mx/(x^2-1)无解,求m的值,老师说有3个答案若关于x的方程X-1分之1+x-2分之m=(x-1)(x-2)分之x=1无解,求m的值