求f(x)=x∧2-e∧(-x∧2)的极值
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 14:30:33
求f(x)=x∧2-e∧(-x∧2)的极值
答案是f(2)=4e∧(-2)为极大值,f(0)=0为极小值,我只算到0
答案是f(2)=4e∧(-2)为极大值,f(0)=0为极小值,我只算到0
f(x)=x^2-e^(-x^2)
f'(x)=2x+2xe^(-x^2)
f'(x)=2x[1+e^(-x^2)]
1、令:f'(x)>0,即:2x[1+e^(-x^2)]>0
有:2x>0、1+e^(-x^2)>0……………………(1)
或:2x<0、1+e^(-x^2)<0……………………(2)
由(1)得:x>0
(2)是不可能存在的.
2、令:f'(x)<0,即:2x[1+e^(-x^2)]<0
有:2x>0、1+e^(-x^2)<0……………………(3)
或:2x<0、1+e^(-x^2)>0……………………(4)
(3)是不可能的,
由(4)得:x<0
综上所述,有:
当x∈(-∞,0)时,f(x)为单调减函数;
当x∈(0,∞)时,f(x)为单调增函数.
因此,当x=0时,f(x)取得极小值f(0).
极小值为:fmin(x)=f(0)=0^2-e^(-0^2)=-1
补充答案:
1、从上面的解,可以看出:x>0时,f(x)是单调增函数,在没有其它条件的话,是不存在极大值的!
如果一定要说极大值,那就是:当x→+∞时,f(x)→+∞.
f(2)不可能是极大值!
除非……给定定义域x∈(-∞,2]
2、从上面的解,可以看出:f(0)=-1.
楼主给出的f(0)=0是错误的!
f'(x)=2x+2xe^(-x^2)
f'(x)=2x[1+e^(-x^2)]
1、令:f'(x)>0,即:2x[1+e^(-x^2)]>0
有:2x>0、1+e^(-x^2)>0……………………(1)
或:2x<0、1+e^(-x^2)<0……………………(2)
由(1)得:x>0
(2)是不可能存在的.
2、令:f'(x)<0,即:2x[1+e^(-x^2)]<0
有:2x>0、1+e^(-x^2)<0……………………(3)
或:2x<0、1+e^(-x^2)>0……………………(4)
(3)是不可能的,
由(4)得:x<0
综上所述,有:
当x∈(-∞,0)时,f(x)为单调减函数;
当x∈(0,∞)时,f(x)为单调增函数.
因此,当x=0时,f(x)取得极小值f(0).
极小值为:fmin(x)=f(0)=0^2-e^(-0^2)=-1
补充答案:
1、从上面的解,可以看出:x>0时,f(x)是单调增函数,在没有其它条件的话,是不存在极大值的!
如果一定要说极大值,那就是:当x→+∞时,f(x)→+∞.
f(2)不可能是极大值!
除非……给定定义域x∈(-∞,2]
2、从上面的解,可以看出:f(0)=-1.
楼主给出的f(0)=0是错误的!
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