(2011•海淀区一模)已知平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-(a+1)x与直线y=kx的一个公共点为A(4,8
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/01 10:26:28
(2011•海淀区一模)已知平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-(a+1)x与直线y=kx的一个公共点为A(4,8).
(1)求此抛物线和直线的解析式;
(2)若点P在线段OA上,过点P作y轴的平行线交(1)中抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值;
(3)记(1)中抛物线的顶点为M,点N在此抛物线上,若四边形AOMN恰好是梯形,求点N的坐标及梯形AOMN的面积.
(1)求此抛物线和直线的解析式;
(2)若点P在线段OA上,过点P作y轴的平行线交(1)中抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值;
(3)记(1)中抛物线的顶点为M,点N在此抛物线上,若四边形AOMN恰好是梯形,求点N的坐标及梯形AOMN的面积.
(1)由题意,可得8=16a-4(a+1)及8=4k,
解得a=1,k=2,
所以,抛物线的解析式为y=x2-2x,直线的解析式为y=2x.(2分)
(2)设点P的坐标为(t,2t)(0≤t≤4),可得点Q的坐标为(t,t2-2t),
则PQ=2t-(t2-2t)=4t-t2=-(t-2)2+4,
所以,当t=2时,PQ的长度取得最大值为4.(4分)
(3)易知点M的坐标为(1,-1).过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N,如图所示,四边形AOMN为梯形.直线MN可看成是由直线OA向下平移b个单位得到,所以直线MN的方程为y=2x-b.因为点M在直线y=2x-b上,解得b=3,即直线MN的方程为y=2x-3,将其代入y=x2-2x,可得2x-3=x2-2x
即x2-4x+3=0
解得x1=1,x2=3
易得y1=-1,y2=3
所以,直线MN与抛物线的交点N的坐标为(3,3).(5分)
如图,分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H,
∵HN∥GM,GH∥MN,
∴四边形MNHG是平行四边形.可得点G(1,2),H(3,6).
S△OMG=
1
2×(1−0)×MG=
1
2×[2−(−1)]=
3
2
S△ANH=
1
2×(4−3)×NH=
1
2×(6−3)=
3
2
S□MNHG=(3-1)×NH=2×3=6
所以,梯形AOMN的面积S梯形AOMN=S△OMG+S□MNHG+S△ANH=9.(7分)
解得a=1,k=2,
所以,抛物线的解析式为y=x2-2x,直线的解析式为y=2x.(2分)
(2)设点P的坐标为(t,2t)(0≤t≤4),可得点Q的坐标为(t,t2-2t),
则PQ=2t-(t2-2t)=4t-t2=-(t-2)2+4,
所以,当t=2时,PQ的长度取得最大值为4.(4分)
(3)易知点M的坐标为(1,-1).过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N,如图所示,四边形AOMN为梯形.直线MN可看成是由直线OA向下平移b个单位得到,所以直线MN的方程为y=2x-b.因为点M在直线y=2x-b上,解得b=3,即直线MN的方程为y=2x-3,将其代入y=x2-2x,可得2x-3=x2-2x
即x2-4x+3=0
解得x1=1,x2=3
易得y1=-1,y2=3
所以,直线MN与抛物线的交点N的坐标为(3,3).(5分)
如图,分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H,
∵HN∥GM,GH∥MN,
∴四边形MNHG是平行四边形.可得点G(1,2),H(3,6).
S△OMG=
1
2×(1−0)×MG=
1
2×[2−(−1)]=
3
2
S△ANH=
1
2×(4−3)×NH=
1
2×(6−3)=
3
2
S□MNHG=(3-1)×NH=2×3=6
所以,梯形AOMN的面积S梯形AOMN=S△OMG+S□MNHG+S△ANH=9.(7分)
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