什么是反证法

什么是反证法

反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法,即：肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得.法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”.具体地讲,反证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明. 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说“A或者非A”,这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据“矛盾律”,这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”,结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一真,于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的. 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始,经过正确无误的推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立.实施的具体步骤是： 第一步,反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步,归谬：将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步,结论：说明反设不成立,从而肯定原命题成立. 在应用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法.用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”. 在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲,反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题,改变其思维方向,从结论入手进行反面思考,问题可能解决得十分干脆
编辑本段适用范围:
证明一些命题,且正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显. 具体方法(E.G): 命题r=在C下,若A则B 反证:若A则￢B 证明￢B与A的矛盾 举例：欲证“若P则Q”为真命题,从否定其结论即“非Q”出发,经过正确的逻辑推理导出矛盾,从而“非Q”为假,即原命题为真,这样的证明方法称为反证法, 先提出和定理中的结论相反的假定,然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来.
编辑本段定义
【反证法】 间接论证的一种.先论证与原论题相矛盾的论题即反论题为假,然后根据排中律确定原论题为真.其论证过程可以表示如下： [求证] A(原论题) [证明] (1)设非A真(非A为反论题) (2)如果非A,则B(B为由非A推出的论断) (3)非B(已知) (4)所以,并非非A(根据充分条件假言推理的否定后件式) (5)所以,A(非非A=A). -------------------------------------------------------------------------------- 例如,语言学工作者论证“语言的声音和它所表示的事物之间没有必然联系”这一论题时运用反证法论证如下：“声音和词所表示的事物之间并没有什么必然的联系,并非某一个声音必然表示某一个对象.声音和事物的结合假如有什么必然联系,世界上所有的语言中表示同一事物的词的声音就应当是相同的.既然世界上表示同一事物的词的声音各有不同,可见语言的声音和所表示的事物之间是没有必然联系的.”这一段论述的反证过程分析如下： 论题：语言的声音和所表示的事物之间没有必 然的联系(在开头提出,最后又做归结) 反论题：声音和事物的结合有必然联系. 设反论题为真,然后进行推导：“声音和事物的结合假如有什么必然联系,世界上所有的语言中表示同一事物的词的声音就应是相同的.”后件显然不能成立：“世界上表示同一事物的词的声音各有不同”.根据充分条件假言推理的否定式,否定后件就必然否定前件,从而证明反论题“声音和事物的结合有必然联系”是假的.然后根据排中律,证明原论题是真的.需要注意的是,反证法是通过先论证反论题假,然后由假推真,确定原论题真.因此反论题与原论题必须是矛盾关系,不能是反对关系.因为反对关系的判断可以同假,即从一个判断的假不能必然推出另一判断的真. 反证法在数学中经常运用.当论题从正面不容易或不能得到证明时,就需要运用反证法,此即所谓"正难则反".
编辑本段范例
一个反证法的范例 证明：素数有无穷多个. 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria,生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法： 假设命题不真,则只有有限多个素数,设所有的素数是2=a1