作业帮 > 数学 > 作业

已知数列{an}有a1=a,a2=p(常数p>0),对任意的正整数n,Sn=a1+a2+...

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/10 21:40:57
已知数列{an}有a1=a,a2=p(常数p>0),对任意的正整数n,Sn=a1+a2+...
已知数列{an}有a1=a,a2=p(常数p>0),对任意的正整数n,Sn=a1+a2+...+an,并有Sn满足Sn=n(an-a1)/2 (1)求a的值.(2)是确定数列{an}是否为等差数列,若是,求出其通项公式,若不是,说明理由.(3)令bn=(Sn+2)/(Sn+1)+(Sn+1)/=(Sn+2),Tn是数列{bn}的前n项和,求证:Tn-2n
已知数列{an}有a1=a,a2=p(常数p>0),对任意的正整数n,Sn=a1+a2+...
(1)Sn=n(an-a1)/2,将n=1 代入 则S1=1(a1-a1)/2=0 又S1=a1 ,所以a1=0 故a=0;lz是对的哦!(2)Sn=n(an-a1)/2=n*an/2 S(n-1)=(n-1)*a(n-1)/2 作差 Sn-S(n-1)=n*an/2-(n-1)a(n-1)/2 因为Sn-S(n-1)=an 所以an=n*an/2-(n-1)a(n-1)/2 通分并移项(n-1)a(n-1)=(n-2)an an/a(n-1)=(n-1)/(n-2) 所以得到an=k(n-1),an 是等差数列 现在求系数k 当n=1时,a1=0,满足; 当n=2时,a2=k=p 故数列{an}的通项为an=p(n-1),是首项为0,公差为p的等差数列 (3)由题意:bn=S(n+2)/S(n+1)+S(n+1)/S(n+2),S(n+1)=[a1+a(n+1)](n+1)/2=n(n+1)p/2,S(n+2)=[a1+a(n+2)](n+2)/2=(n+1)(n+2)p/2代入上式 得:bn=n/(n+2)+(n+2)/n=2+2[1/n-1/(n+2)] 故Tn=b1+b2+...+bn =2+2(1-1/3)+2+2(1/2-1/4)+...+2+2[1/n-1/(n+2)] =2n+2[1-1/3+1/2-1/4+...+1/n-1/(n+2)] 故:Tn-2n=2[1-1/3+1/2-1/4+...+1/n-1/(n+2)] =2{1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)} =3-1/(n+1)-1/(n+2) 显然3-1/(n+1)-1/(n+2)<3 从而:Tn-2n<3得证!