大师作文网证明任意一个秩为r的的矩阵A可以表示为r个秩为1的矩阵之和,而不能表示为r-1个秩为1的矩阵之和.
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 04:16:44
证明任意一个秩为r的的矩阵A可以表示为r个秩为1的矩阵之和,而不能表示为r-1个秩为1的矩阵之和.
刘老师您好,这个证明题,我的思路是这样的,因为A可以通过初等变换变为最简形式,而最简形的矩阵便可以表示为r个秩为1的矩阵之和,不能表示为r-1个秩为1的矩阵之和.可是这如何写呢?
刘老师您好,这个证明题,我的思路是这样的,因为A可以通过初等变换变为最简形式,而最简形的矩阵便可以表示为r个秩为1的矩阵之和,不能表示为r-1个秩为1的矩阵之和.可是这如何写呢?
我来替刘老师回答吧
对于 A = PDQ^T, 其中 D = diag{d_1, d_2, ..., d_n}
把 P 和 Q 按列分块成 P = [p_1, p_2, ..., p_n], Q = [q_1, q_2, ..., q_n],
那么用分块矩阵乘法即知 A = p_1d_1q_1^T + ... + p_nd_nq_n^T
这两种表示法的等价性很重要, 很多别的地方也要用到
如果 rank(A) = r, 那么在上述分解中可以取 P 和 Q 为可逆方阵, D = diag{1,1,...,1, 0,0,...,0}
那么 A = p_1q_1^T + ... + p_rq_r^T
其中的每一项都是秩 1 矩阵
(这可以用 rank(p_kq_k^T)
对于 A = PDQ^T, 其中 D = diag{d_1, d_2, ..., d_n}
把 P 和 Q 按列分块成 P = [p_1, p_2, ..., p_n], Q = [q_1, q_2, ..., q_n],
那么用分块矩阵乘法即知 A = p_1d_1q_1^T + ... + p_nd_nq_n^T
这两种表示法的等价性很重要, 很多别的地方也要用到
如果 rank(A) = r, 那么在上述分解中可以取 P 和 Q 为可逆方阵, D = diag{1,1,...,1, 0,0,...,0}
那么 A = p_1q_1^T + ... + p_rq_r^T
其中的每一项都是秩 1 矩阵
(这可以用 rank(p_kq_k^T)
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