在四棱锥P-ABCD中,PA垂直平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PA=AD=2,E、F分别为棱AD、PC的终点.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/23 03:26:06
在四棱锥P-ABCD中,PA垂直平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PA=AD=2,E、F分别为棱AD、PC的终点.
1)求异面直线EF和PB所成角的大小;
2)求证:平面PCE垂直平面PBC;
3)求二面角E-PC-D的大小.
1)求异面直线EF和PB所成角的大小;
2)求证:平面PCE垂直平面PBC;
3)求二面角E-PC-D的大小.
1.取BC中点G,连接FG,EG,则有FG‖PB,EG‖AB,由正方形各边长以及PA的长很容易求出AC=2√2,PC=2√3,EG=2,FG=√2,PAB=45度,所以∠FGA=45度,而EF与PB所成的角即为∠EFG,在三角形EFG中,EG=2,FG=√2,∠PAB=45=45度,运用余弦定理可求出EF=√2,所以EFG为等腰直角三角形,∠EFG为直角,即所求角度为90度
2.连接CE,PE,由PA垂直面ABCD,可很容易求得PE=CE=√5,所以三角形PEC为等腰三角形,F为斜边PC中点,则由EF⊥PC,又由第1问已证EF⊥FG,PC,FG显然为面PCB中的两条相交直线,所以又EF⊥面PCB,而EF在面PCE中,所以有面PCE⊥面PBC
3.找出二面角E-PC-D是求解的关键,F点是两面交线PC上的点,且有EF⊥交线PC,EF属于面EPC,故只要找到面DPC上垂直于PC且与PC相交于F点的直线,即可与EF构成所求的二面角,设其为x
过F点做FH⊥PC,并交CD于H,则∠EFH即为需要求的x,由PA⊥面ABCD可以得出PA⊥CD,而CD⊥AD,所以有CD⊥面PAD,所以CD⊥PD,三角形PDC是以∠PDC为直角的直角三角形,前面已求出PC=2√3,CD=2,于是有cos∠PCD=CD/PC=√3/3,而在直角三角形CFH中,∠CFH=90度,于是有cos∠PCD=FC/CH,而FC的值为CP的一半,为√3,所以可求出CH=3,另求出FH=√6,这说明H位于CD延长线上,有DH=1,而HE可通过直角三角形HDE已知两个直角边求得为HE=√2,故∠EFH所在的三角形EFH三边皆已求得,为EH=√2,EF=√2,FH=√6,根据余弦定理可求出cos∠EFH=√3/2,于是∠EFH=30度,即二面角E-PC-D为30度
2.连接CE,PE,由PA垂直面ABCD,可很容易求得PE=CE=√5,所以三角形PEC为等腰三角形,F为斜边PC中点,则由EF⊥PC,又由第1问已证EF⊥FG,PC,FG显然为面PCB中的两条相交直线,所以又EF⊥面PCB,而EF在面PCE中,所以有面PCE⊥面PBC
3.找出二面角E-PC-D是求解的关键,F点是两面交线PC上的点,且有EF⊥交线PC,EF属于面EPC,故只要找到面DPC上垂直于PC且与PC相交于F点的直线,即可与EF构成所求的二面角,设其为x
过F点做FH⊥PC,并交CD于H,则∠EFH即为需要求的x,由PA⊥面ABCD可以得出PA⊥CD,而CD⊥AD,所以有CD⊥面PAD,所以CD⊥PD,三角形PDC是以∠PDC为直角的直角三角形,前面已求出PC=2√3,CD=2,于是有cos∠PCD=CD/PC=√3/3,而在直角三角形CFH中,∠CFH=90度,于是有cos∠PCD=FC/CH,而FC的值为CP的一半,为√3,所以可求出CH=3,另求出FH=√6,这说明H位于CD延长线上,有DH=1,而HE可通过直角三角形HDE已知两个直角边求得为HE=√2,故∠EFH所在的三角形EFH三边皆已求得,为EH=√2,EF=√2,FH=√6,根据余弦定理可求出cos∠EFH=√3/2,于是∠EFH=30度,即二面角E-PC-D为30度
在四棱锥P-ABCD中,PA垂直平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PA=AD=2,E、F分别为棱AD、PC的终点.
在四棱锥P- ABCD ,底面 ABCD 是正方形,PA垂直面ABCD,PA=AB=2,E为PC中点,F为AD中点.①证
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形.E.F分别是PC.AD的中点.侧面PAD垂直底面ABCD.且PA
四棱锥p-ABCD中 底面ABCD为矩形,PD垂直底面,AD=PD,E F分别为CD PB 中点 求证 EF垂直平面PA
已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,MN分别是AB,PC的中点,且PA=AD.求证:平面P
在底面为直角梯形的四棱锥P--ABCD中,AD//BC,角ABC+90度,PA垂直平面ABCD,PA=3,AD=2,
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是矩形,AD=2,AB=PA=根号2,PA垂直平面ABCD,E是AD的点,F在PC上
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA=PD,PA垂直PD,PA垂直平面PDC, E为棱PD的中点
在四棱锥P-ABCD中,PD垂直于底面ABCD,底面ABCD为正方形,M为PC的中点,PD=AB,求证PA平行平面MBD
已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA垂直平面ABCD,角ABC=60度,E,F分别是BC,PC的中点,证明A
已知四棱锥p-ABCD,底面ABCD为菱形,PA垂直平面ABCD,角ABC=60°,E.F分别是BC.PC的中点.(1)
如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,点E,F分别为AB、PD的中点