大师作文网已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 19:39:19
已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′(x)＝
x+1
x+lnx−1＝lnx+
1
x，…（2分）
∴xf′（x）=xlnx+1，
题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a，
令g（x）=lnx-x，则g′（x）=
1
x−1．…（4分）
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0，
∴x=1是g（x）的最大值点，
∴g（x）≤g（1）=-1．…（6分）
综上，a的取值范围是[-1，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；…（10分）
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x（lnx+
1
x-1）≥0
所以（x-1）f（x）≥0…（13分）
求导函数，可得f′(x)＝
x+1
x+lnx−1＝lnx+
1
x，…（2分）
∴xf′（x）=xlnx+1，
题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a，
令g（x）=lnx-x，则g′（x）=
1
x−1．…（4分）
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0，
∴x=1是g（x）的最大值点，
∴g（x）≤g（1）=-1．…（6分）
综上，a的取值范围是[-1，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；…（10分）
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x（lnx+
1
x-1）≥0
所以（x-1）f（x）≥0…（13分）
已知函数f（x）=lnx+1x
已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.
已知函数f（x）=lnx-x,h（x）=lnx/x.
已知函数f(x）=lnx+a/x,g(x)=x,F(x)=f(1+e的x次方)-g(x）,x属于R
已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=lnx/x,求证f(x)>g(x)+1/2
已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=lnx/x (1)求函数f(x)的单调区间
已知函数f(x)=lnx+ax+(a+1)/x
已知函数f(x)=(1-x)/(ax) + lnx.
已知函数f(x)=1/2x^2+lnx
已知函数f(x)=-x^2+ax+1-lnx
已知函数f(x)=1/2x²+lnx