椭圆的中心为原点O,离心率e=√2/2,一条准线的方程为x=2√2.(求第二问全解)
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/27 05:43:30
椭圆的中心为原点O,离心率e=√2/2,一条准线的方程为x=2√2.(求第二问全解)
椭圆的中心为原点O,离心率e=√2/2,一条准线的方程为x=2√2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设动点P满足:向量op=om+2on,(均为向量) ,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为 -1/2,问:是否存在两个定点F1、F2,使得∣PF1∣+∣PF2∣为定值?若存在,求F1、F2的坐标;若不存在,说明理由.
椭圆的中心为原点O,离心率e=√2/2,一条准线的方程为x=2√2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设动点P满足:向量op=om+2on,(均为向量) ,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为 -1/2,问:是否存在两个定点F1、F2,使得∣PF1∣+∣PF2∣为定值?若存在,求F1、F2的坐标;若不存在,说明理由.
设P(x,y),M(x1,y1 )、N(x2,y2 ).
∵OP=OM+2ON,
∴(x,y)=(x1+2x2,y1+2y2 ),即x=x1+2x2,y=y1+2y2,
∵M、N是椭圆上的点,
∴x1^2+2y1^2-4=0,x2^2+2y2^2-4=0.
∴x^2+2y^2=(x1+2x2)^2+2 (y1+2y2)^2
=(x1^2+2y1^2 )+4(x2^2+2y2^2 )+4x1x2+2y1y2 )
=4+4×4+4(x1x2+2y1y2 )=20+4(x1x2+2y1y2 ).
∵直线OM与ON的斜率之积为-1/2,
即y1/x1)•(y2/x2)=-1/2,
得到x2+2y2=20,
P是椭圆 x2/20+y2/10=1 上的点,F(√10,0),准线l:x=2√10,e=√2/2,
|PF|与点P到直线l:x=2√10的距离之比为定值√2/2,
故存在点F(√10,0),满足|PF|与点P到直线l:x=2√10的距离之比为定值.
再问: 即y1/x1)•(y2/x2)=-1/2,怎么得到下一步?
再答: 直线OM和ON都是过原点的直线,故 y1/x1:表示OM的斜率 y2/x2:表示ON的斜率 由文中直线OM与ON的斜率之积为 -1/2;得到(y1/x1)•(y2/x2)=-1/2 上式变化得到2y1y2 =-x1x2 即 20+4(x1x2+2y1y2 )=20+4(x1x2-x1x2 )=20.
∵OP=OM+2ON,
∴(x,y)=(x1+2x2,y1+2y2 ),即x=x1+2x2,y=y1+2y2,
∵M、N是椭圆上的点,
∴x1^2+2y1^2-4=0,x2^2+2y2^2-4=0.
∴x^2+2y^2=(x1+2x2)^2+2 (y1+2y2)^2
=(x1^2+2y1^2 )+4(x2^2+2y2^2 )+4x1x2+2y1y2 )
=4+4×4+4(x1x2+2y1y2 )=20+4(x1x2+2y1y2 ).
∵直线OM与ON的斜率之积为-1/2,
即y1/x1)•(y2/x2)=-1/2,
得到x2+2y2=20,
P是椭圆 x2/20+y2/10=1 上的点,F(√10,0),准线l:x=2√10,e=√2/2,
|PF|与点P到直线l:x=2√10的距离之比为定值√2/2,
故存在点F(√10,0),满足|PF|与点P到直线l:x=2√10的距离之比为定值.
再问: 即y1/x1)•(y2/x2)=-1/2,怎么得到下一步?
再答: 直线OM和ON都是过原点的直线,故 y1/x1:表示OM的斜率 y2/x2:表示ON的斜率 由文中直线OM与ON的斜率之积为 -1/2;得到(y1/x1)•(y2/x2)=-1/2 上式变化得到2y1y2 =-x1x2 即 20+4(x1x2+2y1y2 )=20+4(x1x2-x1x2 )=20.
椭圆的中心为原点O,离心率e=√2/2,一条准线的方程为x=2√2.(求第二问全解)
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求中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率为根号3,一条准线方程为3x-根号6=0的双曲线方程