已知定义域为r的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x分之3一2的x次方.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/10 14:30:14
已知定义域为r的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x分之3一2的x次方.
(1)求f(x)的解析式
(2)若对任意的t∈r,不等式f(t的平方一2t)+f(2t的平方一k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
(1)求f(x)的解析式
(2)若对任意的t∈r,不等式f(t的平方一2t)+f(2t的平方一k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
分析:
(1)由定义域为R的函数f(x)是奇函数,知f(0)=0.当x<0时,f(-x)=-x/3-2^﹙-x﹚,由函数f(x)是奇函数,知f(x)=x/3+2^﹙-x﹚,由此能求出f(x)的解析式.
(2)由f(1)=-5/3<f(0)=0且f(x)在R上单调,知f(x)在R上单调递减,由f(t²-2t)+f(2t²-k)<0,得f(t²-2t)<-f(2t²-k),再由根的差别式能求出实数k的取值范围.
(1)∵定义域为R的函数f(x)是奇函数,
∴f(0)=0,
当x<0时,-x>0,
f(-x)=-x/3-2^﹙-x﹚,
又∵函数f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=x/3+2^﹙-x﹚,
综上所述,
f(x)=x/3-2^x(x>0)
0(x=0)
x/3+2^﹙-x﹚(x<0).
(2)∵f(1)=-5/3<f(0)=0,
且f(x)在R上单调,
∴f(x)在R上单调递减,
由f(t²-2t)+f(2t²-k)<0,
得f(t²-2t)<-f(2t²-k),
∵f(x)是奇函数,
∴f(t²-2t)<f(k-2t²),
又∵f(x)是减函数,
∴t²-2t>k-2t²
即3t²-2t-k>0对任意t∈R恒成立,
∴△=4+12k<0得k<-1/3即为所求.
点评:本题考查函数的恒成立问题,解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化,同时注意函数性质的灵活运用.
.,.
再问: 呵呵,第二小道,为什么f(1)=一5分之三<f(0)=0?
再答: 你把x=1代入f(x)中,f(1)=1/3-2=-3/5<f(0)=0 ( 因为是奇函数,所以f(0)=0) 有疑问可以追问哦。,
再问: 你怎么知道f(x)在r上单调递减。刚刚在写语文作业,所以有点慢。问题比较多。。
再答: ……你理解的确实有点慢,,f(0)>f(1),且f(x)是奇函数,。∴f(x)在R上单调递减 有疑问尽管问。。
再问: 那个,为什么f(0)大于f(1)且函数为奇函数,所以就单调递减啊?
再答: 你把x=1代入f(x)中,f(1)=1/3-2=-3/5 ∵f(0)=0 ∴-3/5<0,即f(1)<f(0) 奇函数是过原点的单调函数,f(0)大于f(1),不就是y越来越小吗?,那不就是减函数吗 先想想再问,这个问题你已经问过一遍了。
再问: 没啊没啊,这个我懂啊!就是为什么这样就是单调递减了。
再答: 奇函数是过原点的单调函数,f(0)大于f(1),不就是y越来越小吗?,那不就是减函数吗
再问: 哦哦,对对,那个,你给我个扣扣或微信号吧!
再答: 采纳呗。
(1)由定义域为R的函数f(x)是奇函数,知f(0)=0.当x<0时,f(-x)=-x/3-2^﹙-x﹚,由函数f(x)是奇函数,知f(x)=x/3+2^﹙-x﹚,由此能求出f(x)的解析式.
(2)由f(1)=-5/3<f(0)=0且f(x)在R上单调,知f(x)在R上单调递减,由f(t²-2t)+f(2t²-k)<0,得f(t²-2t)<-f(2t²-k),再由根的差别式能求出实数k的取值范围.
(1)∵定义域为R的函数f(x)是奇函数,
∴f(0)=0,
当x<0时,-x>0,
f(-x)=-x/3-2^﹙-x﹚,
又∵函数f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=x/3+2^﹙-x﹚,
综上所述,
f(x)=x/3-2^x(x>0)
0(x=0)
x/3+2^﹙-x﹚(x<0).
(2)∵f(1)=-5/3<f(0)=0,
且f(x)在R上单调,
∴f(x)在R上单调递减,
由f(t²-2t)+f(2t²-k)<0,
得f(t²-2t)<-f(2t²-k),
∵f(x)是奇函数,
∴f(t²-2t)<f(k-2t²),
又∵f(x)是减函数,
∴t²-2t>k-2t²
即3t²-2t-k>0对任意t∈R恒成立,
∴△=4+12k<0得k<-1/3即为所求.
点评:本题考查函数的恒成立问题,解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化,同时注意函数性质的灵活运用.
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再问: 呵呵,第二小道,为什么f(1)=一5分之三<f(0)=0?
再答: 你把x=1代入f(x)中,f(1)=1/3-2=-3/5<f(0)=0 ( 因为是奇函数,所以f(0)=0) 有疑问可以追问哦。,
再问: 你怎么知道f(x)在r上单调递减。刚刚在写语文作业,所以有点慢。问题比较多。。
再答: ……你理解的确实有点慢,,f(0)>f(1),且f(x)是奇函数,。∴f(x)在R上单调递减 有疑问尽管问。。
再问: 那个,为什么f(0)大于f(1)且函数为奇函数,所以就单调递减啊?
再答: 你把x=1代入f(x)中,f(1)=1/3-2=-3/5 ∵f(0)=0 ∴-3/5<0,即f(1)<f(0) 奇函数是过原点的单调函数,f(0)大于f(1),不就是y越来越小吗?,那不就是减函数吗 先想想再问,这个问题你已经问过一遍了。
再问: 没啊没啊,这个我懂啊!就是为什么这样就是单调递减了。
再答: 奇函数是过原点的单调函数,f(0)大于f(1),不就是y越来越小吗?,那不就是减函数吗
再问: 哦哦,对对,那个,你给我个扣扣或微信号吧!
再答: 采纳呗。
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