在平面直角坐标系中,点B在直线y=2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,OA=5,若抛物线y=1/6x^2+bx+c过O

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 07:36:10

在平面直角坐标系中,点B在直线y=2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,OA=5,若抛物线y=1/6x^2+bx+c过O、A
两点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由；
（3）如图2,在（2）的条件下,⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP,P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在,求出点Q的横坐标；若不存在,请说明理由．

：（1）设B(m,-2m),则A(m,o)
因为AB=10,所以|-2m|=10
即m=5或-5 ,所以A(5,0)或(-5,0)
因为抛物线y=-1/6x^2+bx+c过O点,所以c=0
又因为抛物线y=-1/6x^2+bx过A点,
所以当A(5,0),时,0=-1/6·5^2+b·5,解得b=5/6
当A(-5,0),时,0=-1/6·（-5）^2+b·（-5）,解得b=-5/6
所以 y=-1/6x^2+5/6x 或y=-1/6x^2-5/6x
(2)如果y=-1/6x^2+5/6x
因为点A与点C关于直线y=-2x对称
所以C(-3,-4) （由(1)中点在直线上；(2)斜率乘积为-1 求出）
将C(-3,-4) 带入y=-1/6x^2+5/6x成立,即C是否在该抛物线上
（3）存在
(1)以角BOQ为直角,则过点O做直线y=-2x的垂线y=1/2x
联立y=1/2x与y=-1/6x^2+5/6x 解得x=0或2 （异于O点 0舍去）
则x=2,y=1 ,所以Q(2,1)
(2))以角OBQ为直角,则过点B做直线y=-2x的垂线y=1/2x-25/2
联立y=1/2x-25/2与y=-1/6x^2+5/6x 同理可解