求个椭圆的问题1..知道椭圆的短半径b为5.5米,怎么算长半径A?2、画这个椭圆的时候用怎么算C?2A、2B、2C哪条边

求个椭圆的问题
1..知道椭圆的短半径b为5.5米,怎么算长半径A?
2、画这个椭圆的时候用怎么算C?2A、2B、2C哪条边做定边?

你看看下面的几个典例对你有帮助的:
典型例题



椭圆的定义

例1
过椭圆4x2＋y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点,则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2的周长是


[ ]

略
∵|AF1|＋|AF2|=2,
|BF1|＋|BF2|=2,
∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|=4,
即|AB|＋|AF2|＋|BF2|=4．
∴选B．
评注：
此题明是求周长,实际上是用椭圆的定义．题中提现了转化的思想．

例2
M点为椭圆上一点,椭圆两焦点为F1,F2．且2a=10,2c=6,点I为△MF1F2



如图,I为△MF1F2的内心,
∴∠1=∠2,

比较①、②,并应用等比定理,得

评注：
此题三步用到了椭圆的定义,内角平分线定理,等比定理．等比定理是桥梁把内角平分线分线段比与椭圆的第一定义联系起来．

例3
已知椭圆两焦点为F1,F2,M点为椭圆上一点(不在直线F1F2上),∠F1MF2=θ,|F1F2|=2c,|MF1|＋|MF2|=2a．求△MF1F2的面积．

由余弦定理,得
(2c)2=|F1F2|2
=|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos∠F1MF2
=(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cosθ)
=(2a)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cosθ)


评注：


例4
已知方程2(k2－2)x2＋k2y2＋k2－k－6=0表示椭圆,求实数k的取值范围．

按题意,得

评注：
解这种类型的题目,要注意椭圆的两种类型,同时要注意椭圆与圆的区别．

例5


设所求椭圆方程为Ax2＋By2=k,
①


评注：
此题不知道椭圆的类型,因此采取这种“模糊”的设法,简化了计算．

例6

分析：



设|PF1|=m,|PF2|=n,m＋n=20,

即m2＋n2－mn=144．
(1)
∴(m＋n)2－3mn=144．


评注：
在上述方法中运用了椭圆的定义和余弦定理,这是解决椭圆中三角形问题时常

求|PF1|·|PF2|的最大值．

∵a=10,
∴|PF1|＋|PF2|=20．

当且仅当|PF1|=|PF2|时“=”号成立,
∴|PF1|·|PF2|的最大值为100．

例7


证

(1)∵P0在椭圆外,

(2)∵P0在椭圆内,


评注：
1．本题涉及的知识点是椭圆方程与坐标概念．
2．这是常用的知识点,了解坐标概念和曲线方程概念即不难证明．

例8

时,求|AM|＋2|MF|的最小值,并求此时点M的坐标．

解析：
本题按常规思路,设M(x,y),则

又M在椭圆上,y可用x表示,这样|AM|＋2|MF|可表示为x的一元函数,再求此函数的最小值．虽说此法看上去可行,但实际操作起来十分困难,但我们可以由椭圆的第二定义,转化到点到直线的距离来求,如图．


∴|AM|＋2|MF|=|AM|＋d
由于点A在椭圆内,过A作AK⊥l,K为垂足,易证|AK|即为|AM|＋d的最小值,其值为8－(－2)=10


例9

[ ]
A．椭圆
B．双曲线

C．线段
D．抛物线

略

即点P(x,y)到定点F(1,1)的距离与到定直线l：x＋y＋2=0的距离的比值

∴点P的轨迹是椭圆,故选A．
评注：
此题很妙：妙在利用椭圆的第二定义,定义不能直接运用,必须进行变形后,才知答案．若利用两边平方解会很麻烦的．

例10

离为

[ ]
A．8

略
如图
|PF1|＋|PF2|=2a=10,

∴|PF1|=2．
∴|PF2|=10－|PF1|=10－2=8．
选A．
评注：
此题是椭圆第一定义与第二定义的综合运用．

例11
如图椭圆中心为O,F是焦点,A为顶点,准线l交OA延长线于B,P、Q在椭圆上,且PD⊥l于D,QF⊥OA于F,则椭圆离心率为


[ ]
A．0
B．2

C．2
D．5

答案：
D．
评注：
此题灵活利用离心率、深化对椭圆第二定义的理解．

例12

则有|PF1|=a＋ex0,|PF2|=a－ex0．
证明：
由椭圆第二定义,得

评注：
有的书中把上述结论叫做焦半径公式．按照人民教育出版社出版的教材要求这样做是不科学的,容易陷入单纯记忆公式,忽视椭圆第二定义的理解和应用．由于叙述的方便,后面我们还是采用焦半径的提法．但是要注重理解．
实际上,上述结论是椭圆第二定义的延伸,抓住椭圆第二定义,及点与直线位置关系极易推导和记住,使用时,前面冠以“根据椭圆第二定义,得”即可应用．
|PF1|=a＋ex0,|PF2|=a－ex0,

例13

分析：


只要解方程组即可．
此种方法,思路自然,但计算量较大,需要换一个角度,寻求新的解法．


由椭圆第二定义,得


评注：
充分理解椭圆第二定义,可记忆有关结论．




椭圆的几何性质

例1
已知椭圆中心在坐标原点,焦点在同一坐标轴上,离心率e=0.6,且椭圆过点A(5,4)．求椭圆方程．







评注：
注意椭圆方程的两种类型．

例2
已知椭圆方程(1－m)x2－my2=1,求长轴长．


∴椭圆方程为第二类型．

评注：

方程的类型是至关重要的．

例3

[ ]
A．椭圆面积减小,焦点与对应准线距离增大
B．椭圆面积减小,焦点与对应准线距离减小
C．椭圆面积增大,焦点与对应准线距离增大
D．椭圆面积增大,焦点与对应准线距离减小
选B．



评注：
椭圆的形状有扁平一些的,也有圆一些的,怎样才能刻划出它的扁平程度呢?







当e越接近1时(即增大),c越接近a,从而b越小,因此,椭圆越扁．
如果a不变,则椭圆面积S=πab就越小；焦点与对应准线间距离越小,即焦点向外移动．
当e越接近零时(即减小),c越接近于零,从而b越大,这时椭圆接近于圆．
如果a不变,则椭圆面积S=πab就越大；焦点与对应准线间距离越大,即焦点向内移动．
注意：上述e的数量的变化,反映了椭圆的扁平程度,如果两焦点与原点重合,即a=b,则c=0时,图形发生质的变化就不再是椭圆,成为圆x2＋y2=a2．

例4

为点M到两焦点F1、F2的距离的等比中项?并说明理由．

假设椭圆上存在一点满足题意为P(x0,y0)

左准线l：x=－4,|MN|=|x0＋4|=x0＋4．
若|MN|是|MF1|与|MF2|的等比中项,
由椭圆第二定义,得

因为点M(x0,y0)在椭圆上,故应有－2≤x0≤2,显然横坐标为x0＝－4,

评注：
本题的解法其实质是反证法．

例5
地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆形,太阳在它的一个焦点上,轨道的近日点到太阳的距离是144百万公里,轨道的远日点到太阳的距离是149百万公里,求这轨道的离心率和轨道方程．


以百万公里作为单位长度,如图建立坐标系


∴a－c=144,a＋c=149,
∴a=146.5, c=2.5．

评注：
设P(x0,y0)是椭圆上任一点,则|PF2|=a－ex0,－a≤x0≤－a．
∴(|PF2|)max=a－e·(－a)=a＋c,(|PF2|)min=a－e·a=a－c．




最值问题

例1
求以长轴为一底的椭圆内接梯形的最大面积．


设椭圆方程为




评注：
1．本题涉及的知识点是：椭圆的方程(参数方程),梯形的面积公式和三角函数的最值的处理方法．
2．最值问题的解法,一般是选择设计变量(恰当的自变量),建立目标函数(这是一种数学模型),然后应用函数知识与不等式求目标函数的最值．这里如何建立数学模型是关键,娴熟的数学语言是建立模型的基本工具．函数知识与不等式则是求最值的基础．

例2




过B作BN⊥l于N,过A作AM⊥l于M．
由椭圆的性质,知



评注：

的距离,再根据图形的平几性质就可确定B点使u最小．

例3

椭圆,问M点在何处,所作椭圆的长轴最短,并求此椭圆的方程．




分析：
椭圆的长轴的长即为椭圆上点到两焦点距离的和．这样,求过直线l上点M所作长轴最短的椭圆,即转化为求直线l上一点,使这点到两焦点F1、F2的距离之和最小．
解法一：
a2=16,b2=12,
∴c2=a2－b2=4．





解法二：

圆应与直线l相切,M为切点,

消去y,得(a2＋b2)x2－8a2x＋16a2－a2b2=0,
∴△=64a4－4(a2＋b2)(16a2－a2b2)=0．
化简得a2＋b2=16．
(1)

∴a2－b2=4．
(2)
由①②联立方程组,得a2=10,b2=6．


评注：
以F1、F2为焦点且过直线l上一点的椭圆中,以与直线l相切的椭圆长轴长最短是因为除切点外,直线l上其它各点均在椭圆外,而椭圆外一点与两焦点距离之和大于2a,这一结论可由平面几何知识得到证明,同理还可证明椭圆内一点两焦点距离之和小于2a．




焦半径问题

例1



exi)(i=1、2、3)．

∴三点的横坐标成等差数列是此点的焦半径成等差数列的充要条件．
评注：
1．本题涉及的知识点是椭圆的焦半径、等差数列和充要条件．
2．只有熟练掌握椭圆焦半径才能顺利通过这类基本题,这说明在掌握标准方程的同时熟练掌握有关元素的重要性．

例2

的距离成等差数列．
(1)求x1＋x2；
(2)证明AC的垂直平分线经过一定点,并求此定点的坐标．

(1)由椭圆方程得半长轴a=5,半短轴b=3,半焦距c=4,根据圆锥曲线统一定义,得

∵|AF|＋|CF|=2|BF|,

故x1＋x2=8．




评注：
1．本题涉及的知识点是：椭圆方程、圆锥曲线的统一定义、中点公式、点斜式、等差数列和直线系方程．
2．根据圆锥曲线的统一定义推出椭圆的焦半径公式是应用|AF|、|BF|、|CF|成等差数列建立含x1、x2方程的不可缺少的数学语言．欲证AC的中垂线过一定点,建立AC中垂线的方程是关键．由于A、C两点是椭圆上的动点,因而AC的中垂线是直线系,求出此直线系的方程,就不难证明其过定点了．




直线与椭圆

例1

(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有共公点．


∴△=(12k)2－4×9×(6k2－8)=－72(k2－4)．
(1)△＞0即－2＜k＜2时,直线和椭圆有两个公共点．
(2)△=0,即k=－2或k=2时,直线和椭圆只有一个公共点．
(3)△＜0,即k＞2或k＜－2时,直线和椭圆没有公共点．
评注：
“△”法判别直线与椭圆位置关系的一般步聚：
(1)联立方程组．
(2)消元转化为一元二次方程．
(3)计算△=b2－4ac．
(i)当△＞0时,直线和椭圆两个公共点,此时称直线和椭圆相交．
(ii)当△=0时,直线和椭圆有且只有一个公共点．此时称直线和椭圆相切．
(iii)当△＜0时,直线和椭圆没有公共点,此时称直线和椭圆相离．
注意：
在直线和圆的位置关系判别有,有“△”判别法和“d－r”判别法两种,其中“d－r”判别法为最简单,也是常用的方法,在直线和椭圆的位置关系中,只有一种方法,即“△”判别法．

例2

于直线y=4x＋m对称．
解法一：


∴△=(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0．

(1)

设PQ中点为M(x,y)则

(2)
把②代入①,得

解法二：
设P(x1,y2),Q(x2,y2)是椭圆C上符合条件的两点,M(x,y)是PQ的中点,

两式相减得,3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)=0,
∵x1≠x2,x1＋x2=2x,y1＋y2=2y,


∴M(－m,－3m)．
∵点M应在椭圆C的内部,故

评注：
解此类题要深刻理解对称的意义．

例3

AB之长．

椭圆的右焦点F(1,0),
设直线l：y=x－1,A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1－y2=x1－x2,



评注：
(1)如果此题进一步求△F1AB的面积,如图所示,F1(－1,0)
∴点F1(－1,0)到直线l：y=x－1的距离为

通常求△F1AB的面积还有如下两种求法：
(1)S△F1AB=S△F1F2A＋S△F1F2B,




(2)此题直线l是过椭圆的右焦点,所截得弦是“焦点弦”,对于“焦点弦”除了上述求弦长的方法外,还可考虑|AB|=|AF2|＋|BF2|后面的学习继续研究．

例4
已知椭圆中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x＋1与该椭圆相交于

分析：
题设中没有明确椭圆焦点是在x轴上,还是在y轴上,因此,在选择标准方程形式时,不要明确a＞b还是a＜b,这是其一；另一方面题设中涉及交点P、Q的两个条件,简化计算．

设所求的椭圆的方程为

依题意,点P、Q的坐标满足方程组

将②代入①,得
(a2＋b2)x2＋2a2x＋a2(1－b2)=0．
③
设方程③的两根分别为x1、x2,则直线y=x＋1与椭圆的交点P(x1,x1＋1)、Q(x2,x2＋1)．

整理,得

解x1＋x2与x1x2,得


解之,得

故所求椭圆方程为

评注：
此题是椭圆与韦达定理巧妙结合．




轨迹与综合

例1
已知点P在直线x＝2上移动,直线l过原点并且与OP垂直通过点A(1,0)及点P的直线m和直线l交于点Q,求点Q的轨迹方程,并指出该轨迹的名称与其焦点坐标．

解一：
设Q(x,y),P(2,t)
∵OP⊥OQ,
∴ty＝－2x． ①
∵Q、A、P三点共线,

即y＝t(x－1)． ②
若t≠0,则由①、②消去t,得
2x2＋y2－2x＝0(y≠0)． (※)
若t＝0,则P(2,0),l：x＝0．
∴Q(0,0)也满足(※)式．
综上所述,所求动点Q的轨迹方程为


解二：
当l⊥x轴时,则Q(0,0)．
当l不垂直于x轴时,设l：y＝kx,其中k≠0．

解方程组

设Q(x,y),则y＝kx． ①

由①、②联立,消去k,得2x2＋y2－2x＝0(y≠0)．
又Q(0,0)也适合上式,
∴点Q的轨迹方程为

轨迹名称与焦点坐标同解一
评注：
点Q的运动可看作点P的移动引起的,因此可选点P的纵坐标作参数描述点Q的运动规律；点Q的运动也可看作直线l绕原点运动引起的,因此可选择直线l的倾角或斜率建立Q的横纵坐标之间的联系．

例2

又点Q在OP上并且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2(如图2)．当点P在直线l移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．

分析：
所给等式|OQ|·|OP|＝|OR|2除涉及到我们需要的动点Q之外,还含有动点P与R,为得到Q的轨迹方程,就应建立P、R与Q坐标之间的关系,这可由O、Q、P、R四点共线以及点R与椭圆的结合关系,点P与直线的结合关系予以确定；利用∠xOP＝θ来描述Q、R、P的坐标也是一种好方法；如果把Q、P、R投影到x轴上,则可把题设等式化为

解一：
由题设知点Q不在原点．设P(xP,yP)、R(xR,yR)及Q(x,y),其中x、y不全为0．
当点P不在y轴上时,由点R在椭圆上及O、Q、R三点共线,得

解之,得

由点P在直线l上及O、Q、P三点共线,得


当点P在y轴上时,P(0,8)、R(0,4)、Q(0,2),易验证①、②、③、④均成立．
由题设|OQ|·|OP|＝|OR|2,得

将①、②、③、④皆代入上式,得

∵x与xP同号,y与yP同号；
∴由③、④知2x＋3y＞0



解二：
由题设知点Q不在原点．设P(xP,yP)、R(xR,yR)及Q(x,y),其中x、y不全为零．
设∠xOP＝α,则有以下各式：
xP＝|OP|·cosα,yP＝|OP|·sinα；
xR＝|OR|·cosα,yR＝|OR|·sinα；
x＝|OQ|·cosα,y＝|OQ|·cosα．
由上式及题设等式|OQ|·|OP|＝|OR|2,得


由点P在直线l上,点在椭圆上,得

将①、②、③、④代入⑤、⑥得

整理,得


平行于x轴的椭圆,去掉原点O(0,0)．
解三：
依题设点Q不在原点．设P(xP,yP)、R(xR,yR)、Q(x,y),其中x、y不同时为零．
∵ |OQ|·|OP|＝|OR|2

依题意知x、xP与xR同号,y、yP与yR同号,所以


由于点P(xP,yP)在直线l上,及O、P、Q三点共线,得


把①、②代入(※)式,得



轴平行于x轴的椭圆,去掉原点O(0,0)．
评注：

本题是1995年全国高考数学试题理科压轴题,这一年的文科试题是它的姊妹题：

知点Q在OP上并且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2．当点Q在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．


例3

沿x轴折成直二面角,求AB的连线与x轴所成的角．

过B引BC‖OX交椭圆于C,B、C关于y轴对称,A、C关于x轴对称
∴|AD|＝|DC|且AD、DC均垂直于x轴．
坐标平面折起后在同一平面内的点或线,位置关系不变,仍有|AD|＝|DC|且AD、DC均垂直于x轴．
∠ADC是二面角的平面角,

AD⊥平面BOC如图3所示,

∵BC⊥CD,根据三垂线定理,得BC⊥AC．
在Rt△ABC中|BC|同折前为2|OA|cosα,

评注：
(1)本题涉及的知识点是：椭圆方程、三角函数概念与直角三角形边角关系、二面角的平面角、三垂线定理和异面直线所成的角．
(2)这是一道解析几何与立体几何的综合题,根据题设画出直观图,以辅助空间想象力,折起之后,在同一平面内的点与直线的相对位置不变,在不同平面内的点的相对位置改变了．这是判断位置关系时应予注意的．