设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为f1,f2,A是椭圆上一点,AF2垂直F1F2
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/23 08:27:20
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为f1,f2,A是椭圆上一点,AF2垂直F1F2,原点O到AF1的距离为
1/3|OF1|,求证(1)a=根号2b.(2)Q1,Q2是椭圆上两动点,OQ1垂直0Q2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求D的轨迹
1/3|OF1|,求证(1)a=根号2b.(2)Q1,Q2是椭圆上两动点,OQ1垂直0Q2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求D的轨迹
(1)(设c=√(a^-b^),AF2垂直F1F2,∴AF2:x=c,
A是椭圆上一点,取A(c,b^/a),
AF1:y=[b^/(2ac)](x+c),
原点O到AF1的距离为[b^/(2a)]/√[1+b^4/(4a^c^)]=b^c/√[4a^c^+b^4]=c/3,
∴3b^=√[4a^c^+b^4],
平方得9b^4=4a^(a^-b^)+b^4,
整理得4a^4-4a^b^-8b^4=0,
a^4-a^b^-2b^4=0,
(a^+b^)(a^-2b^)=0,a>b>0,
∴a^=2b^,a=b√2.
(2)椭圆x^/(2b^)+y^/b^=1,①
设OQ1:y=kx,②
代入①*2b^,x^(1+2k^)=2b^,
x^=2b^/(1+2k^),
x=(土b√2)/√(1+2k^),
∴Q1((土b√2)/√(1+2k^),(土bk√2)/√(1+2k^)),
以-1/k代k,得Q2((土bk^√2/√(k^+2),(干bk√2/√(k^+2)),
∴Q1Q2^=[b√2/√(1+2k^)-bk^√2/√(k^+2)]^+[bk√2/√(1+2k^)+bk√2/√(k^+2)]^
=2b^(1+k^)/(1+2k^)+2b^(k^4+k^)/(k^+2)
=2b^[(1+k^)(2+k^)+(k^+k^4)(1+2k^)]/[(1+k^)(1+2k^)]
=2b^[2+3k^+k^4
+k^+3k^4+2k^6]/[(1+k^)(1+2k^)]
=2b^(2+4k^+4k^4+2k^6)/[(1+k^)(1+2k^)]
=4b^(1+k^+k^4)/(1+2k^),
OQ1^=2b^(1+k^)/(1+2k^),
OQ2^=2b^(k^+1)/(k^+2),
∵OD⊥Q1Q2,
∴OD*Q1Q2=OQ1*OQ2,
∴OD^=OQ1^*OQ2^/Q1Q2^=b^(1+k^)^/[(k^+2)(1+k^+k^4)],?
A是椭圆上一点,取A(c,b^/a),
AF1:y=[b^/(2ac)](x+c),
原点O到AF1的距离为[b^/(2a)]/√[1+b^4/(4a^c^)]=b^c/√[4a^c^+b^4]=c/3,
∴3b^=√[4a^c^+b^4],
平方得9b^4=4a^(a^-b^)+b^4,
整理得4a^4-4a^b^-8b^4=0,
a^4-a^b^-2b^4=0,
(a^+b^)(a^-2b^)=0,a>b>0,
∴a^=2b^,a=b√2.
(2)椭圆x^/(2b^)+y^/b^=1,①
设OQ1:y=kx,②
代入①*2b^,x^(1+2k^)=2b^,
x^=2b^/(1+2k^),
x=(土b√2)/√(1+2k^),
∴Q1((土b√2)/√(1+2k^),(土bk√2)/√(1+2k^)),
以-1/k代k,得Q2((土bk^√2/√(k^+2),(干bk√2/√(k^+2)),
∴Q1Q2^=[b√2/√(1+2k^)-bk^√2/√(k^+2)]^+[bk√2/√(1+2k^)+bk√2/√(k^+2)]^
=2b^(1+k^)/(1+2k^)+2b^(k^4+k^)/(k^+2)
=2b^[(1+k^)(2+k^)+(k^+k^4)(1+2k^)]/[(1+k^)(1+2k^)]
=2b^[2+3k^+k^4
+k^+3k^4+2k^6]/[(1+k^)(1+2k^)]
=2b^(2+4k^+4k^4+2k^6)/[(1+k^)(1+2k^)]
=4b^(1+k^+k^4)/(1+2k^),
OQ1^=2b^(1+k^)/(1+2k^),
OQ2^=2b^(k^+1)/(k^+2),
∵OD⊥Q1Q2,
∴OD*Q1Q2=OQ1*OQ2,
∴OD^=OQ1^*OQ2^/Q1Q2^=b^(1+k^)^/[(k^+2)(1+k^+k^4)],?
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为f1,f2,A是椭圆上一点,AF2垂直F1F2
设椭圆c:x^2/a^2+y^2/2=1(a>0)的左右焦点分别为F1、F2,A是椭圆C上一点,且向量AF2*向量F1F
设椭圆C:x2/a2+y2/2=1(a>0)的左,右焦点分别为F1,F2,A是椭圆C上一点,向量AF2*向量F1F2=0
设椭圆C :x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,角
设F1,F2分别是椭圆E:X^2/a^2+Y^2/b^2=1的左右焦点,过F1斜率为1与E相交于A,B,且|AF2|,|
已知F1,F2是椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,AF2向
已知A(1,1)是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的两焦点,且AF1+AF2=4
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足PF2=F1F2.(
设椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,已知椭圆E上的任意一点P,满足向量
设椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1 F2,已知椭圆E上的任意一点P,满足
设F1,F2分别是椭圆E:X^2 Y^2/b^2=1的左右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左右焦点,如果在椭圆上存在一点M(x,y