大师作文网（2014•洛阳二模）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/10 20:19:07
（2014•洛阳二模）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，求点N的坐标；
（4）在（2）与（3）的条件下，请直接写出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，求点N的坐标；
（4）在（2）与（3）的条件下，请直接写出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．
（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：
9a+3b＝0
16a+4b＝4，
解得：
a＝1
b＝−3．
∴抛物线的解析式是y=x2-3x．
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），
得：4=4k1，
解得：k1=1．
∴直线OB的解析式为y=x，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m，
∵点D在抛物线y=x2-3x上，
∴可设D（x，x2-3x），
又∵点D在直线y=x-m上，
∴x2-3x=x-m，即x2-4x+m=0，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△=16-4m=0，
解得：m=4，
此时x1=x2=2，y=x2-3x=-2，
∴D点的坐标为（2，-2）．
（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），
根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，
设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），
∴4k2+3=4，解得：k2=
1
4，
∴直线A′B的解析式是y=
1
4，
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，
∴BA′和BN重合，
即点N在直线A′B上，
∴设点N（n，
1
4n+3），又点N在抛物线y=x2-3x上，
∴
1
4=n2-3n，
解得：n1=-
3
4，n2=4（不合题意，舍去）
∴N点的坐标为（-
3
4，
45
16）．
（4）如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
由（3）可知：N1 （-
1
4，-
45
16），B1（4，-4）．
∴O、D、B1都在直线y=-x上．
过D点做DP1∥N1B1，
∵△P1OD∽△NOB，
∴△P1OD∽△N1OB1，
∴P1为O N1的中点
∴将A与B两点坐标代入得：
9a+3b＝0
16a+4b＝4，
解得：
a＝1
b＝−3．
∴抛物线的解析式是y=x2-3x．
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），
得：4=4k1，
解得：k1=1．
∴直线OB的解析式为y=x，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m，
∵点D在抛物线y=x2-3x上，
∴可设D（x，x2-3x），
又∵点D在直线y=x-m上，
∴x2-3x=x-m，即x2-4x+m=0，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△=16-4m=0，
解得：m=4，
此时x1=x2=2，y=x2-3x=-2，
∴D点的坐标为（2，-2）．
（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），
根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，
设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），
∴4k2+3=4，解得：k2=
1
4，
∴直线A′B的解析式是y=
1
4，
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，
∴BA′和BN重合，
即点N在直线A′B上，
∴设点N（n，
1
4n+3），又点N在抛物线y=x2-3x上，
∴
1
4=n2-3n，
解得：n1=-
3
4，n2=4（不合题意，舍去）
∴N点的坐标为（-
3
4，
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16）．
（4）如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
由（3）可知：N1 （-
1
4，-
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16），B1（4，-4）．
∴O、D、B1都在直线y=-x上．
过D点做DP1∥N1B1，
∵△P1OD∽△NOB，
∴△P1OD∽△N1OB1，
∴P1为O N1的中点
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