已知二次函数的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点O.P为二次函数图象上的一个动:
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 22:45:29
已知二次函数的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点O.P为二次函数图象上的一个动:
如图,已知二次函数的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点O.P为二次函数图象上的一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为D(m,0),并与直线OA交于点C.
(1)求出二次函数的解析式;
(2)当点P在直线OA的上方时,求线段PC的最大值;
(3)当m>0时,探索是否存在点P,使得△PCO为等腰三角形,如果存在,求出P的坐标;如果不存在,请说明理由.
如图,已知二次函数的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点O.P为二次函数图象上的一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为D(m,0),并与直线OA交于点C.
(1)求出二次函数的解析式;
(2)当点P在直线OA的上方时,求线段PC的最大值;
(3)当m>0时,探索是否存在点P,使得△PCO为等腰三角形,如果存在,求出P的坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)设y=ax(x-4),
把A点坐标(3,3)代入得:
a=-1,
函数的解析式为y=-x²+4x,
(2)0<m<3,PC=PD-CD,
=-m²+3m,
=-(m-3/2 )²+9/4 ,
∵-1<0,开口向下,
∴有最大值,
当D(3/2 ,0)时,PCmax=9/4 ,
(3)当0<m<3时,仅有OC=PC,
∴-m²+3m= √2m,
解得m=3- 2 ,
∴P(3-√2 ,1+2√2 );
当m≥3时,PC=CD-PD=m²-3m,
OC= 2√m,
由勾股定理得:OP2=OD²+DP²=m²+m²(m-4)²,
①当OC=PC时,m²-3m= √2m,
解得:m=3+√2 ,
∴P(3+√2 ,1-2√2 );
②当OC=OP时,( √2m)²=m²+m²(m-4)²,
解得:m1=5,m2=3(舍去),
∴P(5,-5);
③当PC=OP时,m²(m-3)²=m²+m²(m-4)²,
解得:m=4,
∴P(4,0),
答:存在,P的坐标是(3-√2 ,1+2√2 )或(3+√2 ,1-2√2 )或(5,-5)或(4,0).
把A点坐标(3,3)代入得:
a=-1,
函数的解析式为y=-x²+4x,
(2)0<m<3,PC=PD-CD,
=-m²+3m,
=-(m-3/2 )²+9/4 ,
∵-1<0,开口向下,
∴有最大值,
当D(3/2 ,0)时,PCmax=9/4 ,
(3)当0<m<3时,仅有OC=PC,
∴-m²+3m= √2m,
解得m=3- 2 ,
∴P(3-√2 ,1+2√2 );
当m≥3时,PC=CD-PD=m²-3m,
OC= 2√m,
由勾股定理得:OP2=OD²+DP²=m²+m²(m-4)²,
①当OC=PC时,m²-3m= √2m,
解得:m=3+√2 ,
∴P(3+√2 ,1-2√2 );
②当OC=OP时,( √2m)²=m²+m²(m-4)²,
解得:m1=5,m2=3(舍去),
∴P(5,-5);
③当PC=OP时,m²(m-3)²=m²+m²(m-4)²,
解得:m=4,
∴P(4,0),
答:存在,P的坐标是(3-√2 ,1+2√2 )或(3+√2 ,1-2√2 )或(5,-5)或(4,0).
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