已知点P(x,y)在直线3x-4y+4=0上,求根号下(x+3)^2+(y-5)^2+根号下(x-2)^2+(y-15)
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 18:25:07
已知点P(x,y)在直线3x-4y+4=0上,求根号下(x+3)^2+(y-5)^2+根号下(x-2)^2+(y-15)^2的最小值
方法一:
引入复数:z1=(x+3)+(y-5)i、z2=(x-2)+(y-15)i.
∴|z1|=√[(x+3)^2+(y-5)^2]、|z2|=√[(x-2)^2+(y-15)^2],
∴√[(x+3)^2+(y-5)^2]+√[(x-2)^2+(y-15)^2]
=|z1|+|z2|
≧|z1-z2|
=|[(x+3)+(y-5)i]-[(x-2)+(y-15)i]|
=|5+10i|
=√(25+100)
=5√5.
∴√[(x+3)^2+(y-5)^2]+√[(x-2)^2+(y-15)^2]的最小值是5√5.
方法二:
∵√[(x+3)^2+(y-5)^2]是点A(x,y)和点B(-3,5)间的距离,
√[(x-2)^2+(y-15)^2]是点A(x,y)和点C(2,15)间的距离,
容易验证出:点A、B都不在直线3x-4y+4=0上.
∴|AB|+|AC|≧|BC|=√[(-3-2)^2+(5-15)^2]=√125=5√5.
∴√[(x+3)^2+(y-5)^2]+√[(x-2)^2+(y-15)^2]的最小值是5√5.
引入复数:z1=(x+3)+(y-5)i、z2=(x-2)+(y-15)i.
∴|z1|=√[(x+3)^2+(y-5)^2]、|z2|=√[(x-2)^2+(y-15)^2],
∴√[(x+3)^2+(y-5)^2]+√[(x-2)^2+(y-15)^2]
=|z1|+|z2|
≧|z1-z2|
=|[(x+3)+(y-5)i]-[(x-2)+(y-15)i]|
=|5+10i|
=√(25+100)
=5√5.
∴√[(x+3)^2+(y-5)^2]+√[(x-2)^2+(y-15)^2]的最小值是5√5.
方法二:
∵√[(x+3)^2+(y-5)^2]是点A(x,y)和点B(-3,5)间的距离,
√[(x-2)^2+(y-15)^2]是点A(x,y)和点C(2,15)间的距离,
容易验证出:点A、B都不在直线3x-4y+4=0上.
∴|AB|+|AC|≧|BC|=√[(-3-2)^2+(5-15)^2]=√125=5√5.
∴√[(x+3)^2+(y-5)^2]+√[(x-2)^2+(y-15)^2]的最小值是5√5.
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