12月19日数学月考20题请教:20、已知函数f(x)=x2+a(x+lnx),a∈R是常数 (1)求函数y=f(x)的
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 08:09:08
12月19日数学月考20题请教:
20、已知函数f(x)=x2+a(x+lnx),a∈R是常数 (1)求函数y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程。 (2)若函数y=f(x)的图像上的点都在第一象限,试求常数a的取值范围。
请老师帮忙解答,非常感谢!
20、已知函数f(x)=x2+a(x+lnx),a∈R是常数 (1)求函数y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程。 (2)若函数y=f(x)的图像上的点都在第一象限,试求常数a的取值范围。
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解题思路: 第一问,用导数求切线斜率;第二问,分离变量,构造函数,利用导数判断值域。
解题过程:
20、已知函数f(x)=x2+a(x+lnx),a∈R是常数 (1)求函数y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程。 (2)若函数y=f(x)的图像上的点都在第一象限,试求常数a的取值范围。 解:(1)由 , 得 , 从而,(切点的纵坐标),(切线的斜率), ∴ 切线的方程为 , 即:; (2)函数的定义域为, 其图像上的点都在第一象限的条件是 不等式恒成立, , , 考查函数,求导得, 可知,在内分别有, ∴ 在上依次为增函数,减函数, 而 ,,, ∴ 的值域为, 欲使 不等式恒成立, ① 若a=0, 则 显然符合要求; ② 若a>0, 则 显然不符合要求; ③ 若a<0, 则 需且只需 a≥-1, 综上所述, 符合要求的a的取值范围是 [-1,0].
解题过程:
20、已知函数f(x)=x2+a(x+lnx),a∈R是常数 (1)求函数y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程。 (2)若函数y=f(x)的图像上的点都在第一象限,试求常数a的取值范围。 解:(1)由 , 得 , 从而,(切点的纵坐标),(切线的斜率), ∴ 切线的方程为 , 即:; (2)函数的定义域为, 其图像上的点都在第一象限的条件是 不等式恒成立, , , 考查函数,求导得, 可知,在内分别有, ∴ 在上依次为增函数,减函数, 而 ,,, ∴ 的值域为, 欲使 不等式恒成立, ① 若a=0, 则 显然符合要求; ② 若a>0, 则 显然不符合要求; ③ 若a<0, 则 需且只需 a≥-1, 综上所述, 符合要求的a的取值范围是 [-1,0].
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