(2010•湖北模拟)如图,用一块形状为半椭圆x
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/21 19:04:27
(2010•湖北模拟)如图,用一块形状为半椭圆x
设D点坐标为(x,y)(x>0),由点D在椭圆上知x2+
y2
4=1(y≥0),
得y2=4(1-x2)
∴等腰梯形ABCD的面积为S=
1
2(|AD|+|BC|)|y|=
1
2(2x+2)•y=(x+1)•y(2分)
∴S2=(x+1)2•y2=(x+1)2•4(1-x2)=4(-x4-2x3+2x+1)
=-4x4-8x3+8x+4(0<x<1)
(S2)'=4(-4x3-6x2+2),
令(S2)'=0,
得2x3+3x2-1=0,即(x+1)2(2x-1)=0,
∵0<x<1,∴x=
1
2,(6分)
又当0<x<
1
2时,(S2)'>0;当
1
2<x<1时,(S2)'<0,
∴在区间(0,1)上,S2有唯一的极大值点x=
1
2,(8分)
∴当x=
1
2时,S2有最大值为
27
4;
即当x=
1
2时,S有最大值为
3
3
2. (10分)
因此只需分别作OC,OB的中垂线与上半椭圆交于D,A,这样的等腰梯形的面积最大.(12分)
y2
4=1(y≥0),
得y2=4(1-x2)
∴等腰梯形ABCD的面积为S=
1
2(|AD|+|BC|)|y|=
1
2(2x+2)•y=(x+1)•y(2分)
∴S2=(x+1)2•y2=(x+1)2•4(1-x2)=4(-x4-2x3+2x+1)
=-4x4-8x3+8x+4(0<x<1)
(S2)'=4(-4x3-6x2+2),
令(S2)'=0,
得2x3+3x2-1=0,即(x+1)2(2x-1)=0,
∵0<x<1,∴x=
1
2,(6分)
又当0<x<
1
2时,(S2)'>0;当
1
2<x<1时,(S2)'<0,
∴在区间(0,1)上,S2有唯一的极大值点x=
1
2,(8分)
∴当x=
1
2时,S2有最大值为
27
4;
即当x=
1
2时,S有最大值为
3
3
2. (10分)
因此只需分别作OC,OB的中垂线与上半椭圆交于D,A,这样的等腰梯形的面积最大.(12分)
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