已知函数f(x)=x,g(x)=3-x2.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/29 10:21:23
已知函数f(x)=x,g(x)=3-x2.
(1)求函数F(x)=f(x)g(x)的极值;
(2)设m是负实数,求函数H(x)=f(x)g(x)-m的零点的个数;
(3)如果存在正实数a,b,c,使得f(a)g(b)=f(b)g(c)=f(c)g(a)>0,试证明a=b=c.
(1)求函数F(x)=f(x)g(x)的极值;
(2)设m是负实数,求函数H(x)=f(x)g(x)-m的零点的个数;
(3)如果存在正实数a,b,c,使得f(a)g(b)=f(b)g(c)=f(c)g(a)>0,试证明a=b=c.
(1)F(x)=3x-x3.F'(x)=3-3x2.
令F'(x)=0,得x=±1.
当x<-1时,F'(x)<0;当-1<x<1时,F'(x)>0;当x>1时,F'(x)<0,故F(-1)的极小值为-2,F(1)为极大值为2.
(2)函数H(x)零点个数即为函数y=f(x)g(x)的图象与函数y=m的图象的交点个数.
由(1)的结论可知,当m<-2时,直线y=m在函数极小值点的下方,两图象只有一个公共点,故函数H(x)只有一个零点;
当m=-2时,直线y=m恰好经过函数的极小值点,两图象有两个公共点,故函数H(x)有两个零点;
当-2<m<0时,函数H(x)有三个零点.
(3)题设也就是a(3-b2)=b(3-c2)=c(3-a2)>0,且a,b,c>0.
∴a,b,c均小于
3.
反设在a,b,c中有两个量不相等,不妨设a≠b,则a>b或a<b.
若a>b,则由a(3-b2)=b(3-c2)知,3-b2<3-c2,b2>c2,b>c.此时又由b(3-c2)=c(3-a2)得c>a.于是a>b>c>a,矛盾.同理,若a<b,也必导出矛盾.
故a=b=c.
令F'(x)=0,得x=±1.
当x<-1时,F'(x)<0;当-1<x<1时,F'(x)>0;当x>1时,F'(x)<0,故F(-1)的极小值为-2,F(1)为极大值为2.
(2)函数H(x)零点个数即为函数y=f(x)g(x)的图象与函数y=m的图象的交点个数.
由(1)的结论可知,当m<-2时,直线y=m在函数极小值点的下方,两图象只有一个公共点,故函数H(x)只有一个零点;
当m=-2时,直线y=m恰好经过函数的极小值点,两图象有两个公共点,故函数H(x)有两个零点;
当-2<m<0时,函数H(x)有三个零点.
(3)题设也就是a(3-b2)=b(3-c2)=c(3-a2)>0,且a,b,c>0.
∴a,b,c均小于
3.
反设在a,b,c中有两个量不相等,不妨设a≠b,则a>b或a<b.
若a>b,则由a(3-b2)=b(3-c2)知,3-b2<3-c2,b2>c2,b>c.此时又由b(3-c2)=c(3-a2)得c>a.于是a>b>c>a,矛盾.同理,若a<b,也必导出矛盾.
故a=b=c.
已知函数f(x)=x,g(x)=3-x2.
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.
已知函数f(x)=2-x2,g(x)=x.若f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)},那么f(x)*g(x)的最
已知函数f(x)=x2-4x+a+3,g(x)=mx+5-2m.
已知函数f(x)=x2-4x+a+3,g(x)=mx+5-2m.
已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,构造函数F(x),定义如下:当f(x)≥g(x)时,F(x)=g(
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3,
已知函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+3x+2的图象相切,记F(x)=f(x)g(x).
已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,
已知函数f(x)=-x2+2x.
已知函数f(x)=x2-2|x|.
已知函数f(x)=x2+2x.