定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/10/11 07:35:24

定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在[-3，3]上总有f（x）≤6成立，试确定f（1）应满足的条件；（3）解关于x的不等式

f(ax

（1）由已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立
令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
令x=-y，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=0
∴对于任意x，都有f（-x）=-f（x）∴f（x）是奇函数．
（2）设任意x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，由已知f（x₂-x₁）＜0（1）
又f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）（2）
由（1）（2）得f（x₁）＞f（x₂），
根据函数单调性的定义知f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-3）．
要使f（x）≤6恒成立，当且仅当f（-3）≤6，
又∵f（-3）=-f（3）=-f（2+1）=-[f（2）+f（1）]
=-[f（1）+f（1）+f（1）]=-3f（1），∴f（1）≥-2．
又x＞1，f（x）＜0，∴f（1）∈[-2，0）
(3)
1
nf(ax2)−f(x)＞
1
nf(a2x)−f(a)，
∴f（ax²）-f（a²x）＞n[f（x）-f（a）]
∴f（ax²-a²x）＞nf（x-a），
由已知得：f[n（x-a）]=nf（x-a）
∴f（ax²-a²x）＞f[n（x-a）]，
∵f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
∴ax²-a²x＜n（x-a）．即（x-a）（ax-n）＜0，
∵a＜0，∴(x−a)(x−
n
a)＞0，
讨论：①当a＜
n
a＜0，即a＜−
n，解集为：{x|x＞
n
a或x＜a}
②当a=
n
a＜0即a＝−
n时，原不等式解集：{x|x≠−
n}
③当
n
a＜a＜0时，即-
n＜a＜0时，原不等式的解集为{x|x＞a或x＜
n
a}．

定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f（x）定义域R的的函数f(x)满足：对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y）成立,且当X＞0时f(x) 定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数xy都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.且当x大于0时 f（x）小于0 定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f(x) 定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成已知函数f（x）对于任意的x,y∈R都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时f(x)＞0恒成立证明f(x) 设函数y=f（x）定义域为R,当x>0时f(x)>1,且对于任意的x,y∈R有f（x+y）=f（x）·f（y）成立已知函数f（x）定义域在R上的函数,且对任意的x,y都有f（x+y)=f(x)+f(y)-1成立.当x＞0时,f(x)＞定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2011且当x＞0时，有f（x 定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：对于任意x，y∈R+，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．若对于x＞1时，恒设函数f（x）的定义域为R,当x＞0时,f（x）＞1,且对任意x,y∈R,都有f（x+y）=f(x)*f(y) 已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x＞0都有f（x）＜0