在等边三角形ABC中P为三角形内任意一点,AB=BC=CA=√(25+√12),CP^2=AP^2+BP^2,CP=5,

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 00:24:32

在等边三角形ABC中P为三角形内任意一点,AB=BC=CA=√(25+√12),CP^2=AP^2+BP^2,CP=5,求AP,BP的长

以PA为边作等边三角形PAQ,使P、Q在AC的两侧.
∵△ABC、△APQ都是正三角形,∴AB＝AC、AP＝AQ、∠BAC＝∠PAQ＝∠AQP＝60°,
∴∠BAP＋∠PAC＝∠PAC＋∠CAQ,∴∠BAP＝∠CAQ.
由AB＝AC、AP＝AQ、∠BAP＝∠CAQ,得：△ABP≌△ACQ,∴BP＝CQ.
∵△APQ是正三角形,∴PQ＝AP,又CQ＝BP、CP^2＝AP^2＋BP^2,
∴CP^2＝PQ^2＋CQ^2,∴由勾股定理的逆定理,有：∠PQC＝90°,而∠AQP＝60°,
∴∠AQC＝∠PQC＋∠AQP＝90°＋60°＝（180°－30°）,∴cos∠AQC＝－cos30°＝－√3/2.
由余弦定理,有：AQ^2＋CQ^2－2AQ×CQcos∠AQC＝AC^2,
∴AP^2＋BP^2＋√3AP×BP＝25＋√12＝25＋2√3,∴AP^2＋BP^2＋√3AP×BP＝25＋2√3,
又AP^2＋BP^2＝CP^2＝25,∴25＋√3AP×BP＝25＋2√3,∴AP×BP＝2.
∴AP^2＋BP^2＝（AP＋BP）^2－2AP×BP＝（AP＋BP）^2－2×2＝25,∴AP＋BP＝√29.
∵AP＋BP＝√29、AP×BP＝2,
∴由韦达定理可知：AP、BP是方程x^2－√29x＋2＝0的两根,由求根公式,得：
x＝［√29＋√（29－4×2）］/2＝（√29－√21）/2、或x＝（√28－√21）/2.
∴满足条件的AP、BP的长是：一者为（√29－√21）/2,另一者为（√28－√21）/2.

在等边三角形ABC中P为三角形内任意一点,AB=BC=CA=√(25+√12),CP^2=AP^2+BP^2,CP=5, 在三角形ABC中AB=AC若P为BC边上任意一点,那么AB^2+AP^2=BP*CP成立吗在三角形ABC中,点P为三角形内任意一点,连接AP、BP、CP,求证AB＋BC＋CA＞1/2（AP＋BP＋CP）三角形ABC中,AB=AC,P为BC延长线上一点,求证AP^2-AB^2=BP*CP 如图,在三角形ABC中,AB=AC,点P是边BC上任意一点,试说明AB^2-AP^2=BP乘CP 如图,已知三角形ABC中,AB=AC,P是BC边上任意一点,连结AP.求证; AC^2=AP^2+CP×BP p为三角形ABC中任意一点,求证；AB+BC+CA>AP+BP+CP 在三角形ABC中,AC=2AB,角BAC等于60度,P为三角形内一点,AP=√3,BP=2,CP=5,求三角形ABC的面如图,三角形ABC中,AB=AC,P为BC上一点,BP=2,CP=5,求AB²-AP² P为△ABC内任意一点,求证：向量AP*向量BC+向量BP*向量CA+向量CP*向量AB=0 在三角形ABC中,AB=AC=4,P为BC上任意一点,求AP平方加BP乘以CP 在三角形ABC中,角BAC是九十度,AB=BC,P为BC上任意一点,请用学过的知识说明：BP的平方+CP的平方=2AP平