大师作文网求证：(1)已知a,b,c均为正数,则1/2a+1/2b+1/2c>=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a);
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 15:31:13
求证：(1)已知a,b,c均为正数,则1/2a+1/2b+1/2c>=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a);
(2)a^2+b^2>=ab+a+b-1.
(2)a^2+b^2>=ab+a+b-1.
(1)首先证明对于任意两个正数x,y,有1/4x+1/4y>=1/(x+y),证明方法很简单,就是1/4x+1/4y=（x+y)/4xy,4xy=1/(x+y),其次1/2a+1/2b+1/2c=(1/4a+1/4b)+(1/4b+1/4c)+(1/4a+1/4c)>=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a),证明完毕.
(2)设a=x+1,b=y+1,代入原式得：x^2+2x+1+y^2+2y+1>=xy+x+y+1+x+1+y+1-1,即需要证明x^2-xy+y^2>=0
可以分情况讨论
当x,y中至少有一个为0时,不等式显然成立；
当x,y异号时,xy>0,不等式成立；
当x,y同号时,x^2+y^2>=2xy,x^2-xy+y^2>=xy>0,不等式成立.
注：第二题也可以用高等数学知识,设二元函数f(a,b)=a^2-ab+b^2-a-b+1,对a的偏导数f1=2a-b-1,对b的偏导数f2=2b-a-1,在极值点出它们的值均为0,解得a=b=1,此时函数取得最小值,并且等于0.
(2)设a=x+1,b=y+1,代入原式得：x^2+2x+1+y^2+2y+1>=xy+x+y+1+x+1+y+1-1,即需要证明x^2-xy+y^2>=0
可以分情况讨论
当x,y中至少有一个为0时,不等式显然成立；
当x,y异号时,xy>0,不等式成立；
当x,y同号时,x^2+y^2>=2xy,x^2-xy+y^2>=xy>0,不等式成立.
注：第二题也可以用高等数学知识,设二元函数f(a,b)=a^2-ab+b^2-a-b+1,对a的偏导数f1=2a-b-1,对b的偏导数f2=2b-a-1,在极值点出它们的值均为0,解得a=b=1,此时函数取得最小值,并且等于0.
高二均值不等式,已知a,b,c都为正数,求证：(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2
已知a,b,c都是正数 a+b+c=1 求证a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)/3
已知abc均为正数,求证1/2a+1/2b+1/2c>1/a+b +1/b+c +1/a+c
求证：(1)已知a,b,c均为正数,则1/2a+1/2b+1/2c>=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a);
高二不等式证明（1）已知a,b,c,是正数,求证a^2a*b^2b*c^2c>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a
a,b,c都是正数.求证:1/2a+1/2b+1/2c>=1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c)
设a,b,c都是正数,求证1/2a+1/2b+1/2c>=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)
..a b c为正,求证a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=1/2(a+b+c)
已知abc为不等正数.求证:1/2a+1/2b+1/2c大于1/(b+c)+1/(a+c)+1/(a+b)
已知a,b,c为正数,求证 （1/a^2+1/b^2+1/c^2）(a+b+c) ^2大于等于27
已知abc都是正数,求证：1/2a+1/2b+1/2c>=1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)
已知a,b,c都是正数,a+b+c=1,设t=(根号3a+2)+(根号3b+2)+( 根号3c+2),求证:t