设A,P均为三阶矩阵,PT为P的转置矩阵,PTAP=(100)

秩相等不一定相似所以"存在可逆矩阵P,使得P^-1AP=B不对"因为A,B的秩相等,所以它们的等价标准形相同即A,B都与H=Er000等价即存在可逆矩阵使得P1AQ1=H=P2BQ2所以P2^-1P1

存在可逆矩阵M使得M'AM=E此时M'BM仍然对称,从而存在正交矩阵Q使得Q'M'BMQ=DD为对角阵.令P=MQ即可

S^-1AS=C=diag(a1*I1,a2*I2,...,ar*Ir)分为r块,每块特征值相同,Ii都是单位阵SCS^-1B=AB=BA=BSCS^-1,左乘S^-1,右乘S,得CS^-1BS=S^

由于A可对角化,故A的最小多项式无重根（这是个定理）又由于a为A的n重特征根,故A有n个初等因子,都为λ-a故A的若当标准型为diag(a,a,...,a)故存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP=dia

这个直接乘出来验证就行了,不过你既然问了大概是不知道这里的技术.先验证简单一点的,即A=I的情形,此时(I+P),(I-P),(I+P)^{-1},(I-P)^{-1}都是P的有理函数,其乘法两两可交

由已知,存在可逆矩阵Q满足Q^-1AQ=diag(a,a,...,a)=aE所以A=Q(aE)Q^-1=aQQ^-1=aE.

做特征值分解就好了.求A的特征值,即det(A-λI)=0,可得λ=5,2,-1所以,A-5I=-4-20-2-3-20-2-2所以,特征向量为c(1,-2,2),取长度为1的,得(1/3,-2/3,

λE-A=λ-2000λ-10-1λ|λE-A|=λ^2(λ-2)-(λ-2)=(λ+1)(λ-1)(λ-2)所以矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=1,λ3=2当λ1=-1时,方程组(λE-A)X=0

这个命题不对!反例:A=0-101-20-10-1则A可逆但A的3重特征值只有一个线性无关的特征向量,A不能对角化!再问：这是考试一道原题--···而且题目我是原封不动打上来的··

知识点:n阶可逆矩阵等价于n阶单位矩阵E.因为A,B可逆,所以存在可逆矩阵P1,P2,Q1Q2满足P1AQ1=EP2BQ2=E所以P1AQ1=P2BQ2所以P2^-1P1AQ1Q2^-1=B令P=P2

因为[(P^2)]^(-1)[PAP^(-1)]P^2=P^(-1)AP所以PAP^(-1)与P^(-1)AP相似故它们有相同的迹(即对角线元素之和)所以a1+a2+.+an=tr(PAP^(-1)-

参考\x09　　人是那样复杂的一种动物,想了解对方根本是不可能的一件事,没有了解,又不能相处,倒不如独身.——《美娇袅》

设B=P‘AP那么B‘=(P‘AP)‘=(AP)‘P=P‘A‘P因为A‘=A,所以B‘=P‘AP=B,所以P‘AP也是对称矩阵

再答：判断矩阵B是不是对称的，就验证B的转置和它本身是否相等。再问：给力

首先求出过三点的圆的方程由几何关系可知圆心为(2,3)半径为1（x-2)^2+(y-3)^2=1由PT=PO知(a-2)^2+(b-3)^2+1=a^2+b^24a+6b-14=0故P在定直线上

因为P可逆所以以任一n维非零向量x,Px≠0所以(Px)^T(Px)>0所以f=x^T(P^TP)x=(Px)^T(Px)>0所以f是正定二次型.

对任一n维非零列向量x,总有x'(A'A)x=(Ax)')(Ax)>=0,且x'x>0所以当a>0时,有x'Bx=ax'x+x'(A'A)x>0故B正定

|A-λE|=(8-λ)(2-λ)^2A的特征值为2,2,8(A-2E)x=0的正交的基础解系为a1=(1,-1,0)^T,a2=(1,1,-2)^T所以属于特征值2的全部特征值为k1a1+k2a2,

B^T=[(P^T)AP]^T=(P^T)A^TP=(P^T)AP=B所以B也是对称阵因为P是可逆阵,所以R(P)=n然后利用两个不等式：R(AP)>=R(A)+R(P)-n=R(A)+n-n=R(A