大师作文网一道高中三角函数的应用题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/25 12:27:09
一道高中三角函数的应用题
三角形ABC为一个直角三角形的空地,角C为直角,AC边长为3百米,BC边长为4百米,现决定在空地内筑一条笔直的路EF（宽度不计）,将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形周长相等,面积分别为s1,s2
若小路一端E为BC的中点,求此时小路的长度
求s1/s2的最小值
三角形ABC为一个直角三角形的空地,角C为直角,AC边长为3百米,BC边长为4百米,现决定在空地内筑一条笔直的路EF（宽度不计）,将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形周长相等,面积分别为s1,s2
若小路一端E为BC的中点,求此时小路的长度
求s1/s2的最小值
1) 由勾股定理可得 AB=5百米
F点在AB上,设BF=X AF=5-X
则BE+BF+EF=EC+AC+AF+EF
2+X=2+3+5-X
X=4
cosB=BC/AC=4/5
EF²=BE²+BF²-2*BE*BF*cosB
=4+16-2*2*4*4/5
=36/5
EF=6/5*根号5
2）
a)
设F点在AB上,BF=Y AF=5-Y
过F作FG⊥BC
则 sinB=AC/AB=3/5=FG/BF=FG/Y
FG=3Y/5
s2=1/2*BE*FG=1/2*2*3Y/5=3Y/5
s1=三角形ABC的面积-s1=1/2*3*4-s1=6-3Y/5=(30-3Y)/5
s1/s2=[(30-3Y)/5]/(3Y/5)
=(10-Y)/Y=10/Y - 1
因为0≤Y≤5
所以当Y=5时,s1/s2有最小值=10/5-1=1
b)设F点在AC上,CF=Z AF=3-Z
三角形面积s1=1/2*EC*CF=1/2*2*Z=Z
四边形面积s2=三角形ABC的面积-s1=1/2*3*4-s1=6-Z
s1/s2=(6-Z)/Z
=6/Z - 1
因为0≤Z≤3
所以当Z=3时,s1/s2有最小值=6/3-1=1
综上所述 s1/s2的最小值为1
F点在AB上,设BF=X AF=5-X
则BE+BF+EF=EC+AC+AF+EF
2+X=2+3+5-X
X=4
cosB=BC/AC=4/5
EF²=BE²+BF²-2*BE*BF*cosB
=4+16-2*2*4*4/5
=36/5
EF=6/5*根号5
2）
a)
设F点在AB上,BF=Y AF=5-Y
过F作FG⊥BC
则 sinB=AC/AB=3/5=FG/BF=FG/Y
FG=3Y/5
s2=1/2*BE*FG=1/2*2*3Y/5=3Y/5
s1=三角形ABC的面积-s1=1/2*3*4-s1=6-3Y/5=(30-3Y)/5
s1/s2=[(30-3Y)/5]/(3Y/5)
=(10-Y)/Y=10/Y - 1
因为0≤Y≤5
所以当Y=5时,s1/s2有最小值=10/5-1=1
b)设F点在AC上,CF=Z AF=3-Z
三角形面积s1=1/2*EC*CF=1/2*2*Z=Z
四边形面积s2=三角形ABC的面积-s1=1/2*3*4-s1=6-Z
s1/s2=(6-Z)/Z
=6/Z - 1
因为0≤Z≤3
所以当Z=3时,s1/s2有最小值=6/3-1=1
综上所述 s1/s2的最小值为1