大师作文网请教一道不等关系证明题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/25 21:33:19
请教一道不等关系证明题
已知x>0,求证：（x^2+1)/x+x/(x^2+1)≥5/2.（利用单调性）
已知x>0,求证：（x^2+1)/x+x/(x^2+1)≥5/2.（利用单调性）
原式可化为证明：x+1/x + 1/(x+1/x)≥5/2
令 u=x+1/x ,由x>0,易知u≥2
且令f(u)=u+1/u取 u2>u1≥2
则 f（u2)-f(u1)=u2+1/u2-(u1+1/u1)-5/2
整理得 =(u2-u1)（1-1/u1*u2)
由u1*u2≥4 => 1-1/u1*u2≥3/4 且 u2>u1
故 f（u2)-f(u1)>0 有单调增函数定义 f(u) 为增函数
所以 f(u)=u+1/u≥2+1/2=5/2
即x+1/x + 1/(x+1/x)≥5/2 因而：（x^2+1)/x+x/(x^2+1)≥5/2
令 u=x+1/x ,由x>0,易知u≥2
且令f(u)=u+1/u取 u2>u1≥2
则 f（u2)-f(u1)=u2+1/u2-(u1+1/u1)-5/2
整理得 =(u2-u1)（1-1/u1*u2)
由u1*u2≥4 => 1-1/u1*u2≥3/4 且 u2>u1
故 f（u2)-f(u1)>0 有单调增函数定义 f(u) 为增函数
所以 f(u)=u+1/u≥2+1/2=5/2
即x+1/x + 1/(x+1/x)≥5/2 因而：（x^2+1)/x+x/(x^2+1)≥5/2