已知,如图,在平面直角坐标系xoy中,二次函数y=-1/3x2+bx+c的图像经过点A(-1,1)和点B（2,2）,

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/19 02:14:09

已知,如图,在平面直角坐标系xoy中,二次函数y=-1/3x2+bx+c的图像经过点A(-1,1)和点B（2,2）,
该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交与点C和点D
（1）求这个二次函数的解析式和他的对称轴
（2）求证：∠ABO=∠CBO
(3)如果点p在直线AB上,且△POB与△BCD相似,求点p的坐标

1、将A、B两点坐标代入抛物线解析式得到关于b、c的二元一次方程组,
解得：b=2／3,c=2,
∴函数解析式为：y=﹙－1／3﹚x²＋﹙2／3﹚x＋2,
∴对称轴x=－﹙2／3﹚／[2﹙－1／3﹚]=1.
2、由A点坐标得到AO直线方程为：y=－x,令x=1代入得C﹙1,－1﹚,
由B点坐标得到BO直线方程为：y=x,令x=1代入得D﹙1,1﹚,
由两点之间的距离公式得：BA=BC=√10,
∴△ABC是等腰△,而AC⊥BO,OA=OC,
∴∠ABO=∠CBO﹙等腰△三线合一定理﹚.
3、由A、B两点得到AB直线方程为：y=﹙1／3﹚x＋4／3,
∴设P点坐标为P﹙m,n﹚,
∴﹙1／3﹚m＋4／3=n,
∴PO=√﹙m²＋n²﹚,PB=√[﹙m－2﹚²＋﹙n－2﹚²],OB=√﹙2²＋2²﹚=2√2,
而BD=√2,CD=2,BC=√10,
其中∠BDC=135°,由tan∠ABO=AO／BO=√2／﹙2√2﹚=½＜1,∴∠ABO＜45°,
∴P点如果AB延长线上,则∠OBP＞135°,∴P点一定在BA或BA延长线上,
∵∠ABO=∠CBD,∴只要∠BPO=135°就行,
∴令△BPO∽△BDC：得到：BP／BD=PO／DC=BO／BC,代入解得：
m=4／5或－8／5,
∴P点坐标为P﹙4／5,8／5﹚,或P﹙－8／5,4／5﹚.
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